Задача 63798 Дана функция z=f(x;y).Показать,что:...
Условие
Решение
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂x }=z`_{x}=(arctg\frac{x}{y})`_{x}=\frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2}\cdot (\frac{x}{y})`_{x}=\frac{y^2}{y^2+x^2})\cdot (\frac{1}{y})\cdot (x)`=\frac{y}{y^2+x^2}[/m]
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂y }=z`_{y}=(arctg\frac{x}{y})`_{y}=\frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2}\cdot (\frac{x}{y})`_{y}=\frac{y^2}{Y^2+x^2}\cdot x\cdot (-\frac{1}{y^2})=-\frac{x}{y^2+x^2} [/m]
[m]\frac{ ∂^2 z}{ ∂x^2 }=(z`_{x})`_{x}=(\frac{y}{y^2+x^2})`_{x}=y\cdot (-\frac{1}{y^2+x^2})\cdot(x^2+y^2)`_{x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}[/m]
[m]\frac{ ∂^2 z}{ ∂y ^2}=(z`_{y})`_{y}=(-\frac{x}{y^2+x^2})`_{y}=-x\cdot (-\frac{1}{y^2+x^2})\cdot(x^2+y^2)`_{y}=+\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}[/m]
[m]\frac{ ∂^2 z}{ ∂x^2 }+\frac{ ∂^2 z}{ ∂y ^2}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}+\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}=0[/m]