Задача 63797 ...

6240703940eb0a5b1739b1ba

27.03.2022 17:20:41

Составить уравнение касательной и нормали к астроиде x=√2 cos^3t,y=√2 sin^3t,проведенных в точке t0=pi/4

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.03.2022 18:14:02

★

y-y_(o)=y`_(x_(o))*(x-x_(o)) - уравнение касательной к кривой y=y(x) в точке (x_(o);y_(o))


[m]x=\sqrt{2}\cdot sin^3t[/m]
[m]y=\sqrt{2}\cdot cos^3t[/m]

[m]y(\frac{π}{4})=\sqrt{2}\cdot (cos\frac{π}{4})^3=\sqrt{2}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^3=\frac{1}{2}[/m]

[m]x(\frac{π}{4})=\sqrt{2}\cdot (sin \frac{π}{4})^3=\sqrt{2}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^3=\frac{1}{2}[/m]

[m]y`_{x}=\frac{y`_{t}}{x`_{t}}[/m]

[m]y`_(t)=(\sqrt{2}\cdot cos^3t)`=3\sqrt{2}\cdot cos^2t\cdot(cost)`=-3\sqrt{2}\cdot cos^2t\cdot sint[/m]


[m]x`_(t)=(\sqrt{2}\cdot sin^3t)`=3\sqrt{2}\cdot sin^2t\cdot(sin t)`=3\sqrt{2}\cdot sin^2t\cdot cost[/m]



[m]y`_(t_{o})=y`(\frac{π}{4})=-3\sqrt{2}\cdot (cos\frac{π}{4})^2\cdot (sin\frac{π}{4})=-\frac{3}{2}[/m]

[m]x`_(t_{o})=3\sqrt{2}\cdot (sin\frac{π}{4})^2\cdot (cos\frac{π}{4})=\frac{3}{2}[/m]



[m]y`_{x_{o}}=\frac{y`_{t_{o}}}{x`_{t_{o}}}=-1[/m]


Подставляем в уравнение:
y-y_(o)=y`_(x_(o))*(x-x_(o))


[m]y-\frac{1}{2})=-1(x-\frac{1}{2})[/m]

[m]y=-x+1[/m]

y-y_(o)=[red]- [/red]y`_(x_(o))*(x-x_(o)) - уравнение нормали к кривой y=y(x) в точке (x_(o);y_(o))

[m]y-\frac{1}{2})=1(x-\frac{1}{2})[/m]

О т в е т.

[b][m]y=-x+1[/m][/b]-уравнение касательной


[b][m]y=x[/m][/b]-уравнение нормали