Задача 63745 Найдите объем тела, образованного...

61b5b17bff738e6990f29f13

22.03.2022 19:02:39

Найдите объем тела, образованного вращением области, заключенной между кривыми
y=e^4x+4,y=0,x=0,x=1
вокруг оси у

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.03.2022 18:04:56

★

[m]y=e^{4x}+4[/m] ⇒ [m]e^{4x}=y-4[/m] ⇒ [m]4x=ln(y-4)[/m] ⇒ [m]x=\frac{1}{4}ln(y-4)[/m]

[m]x=0[/m] ⇒ [m]y=e^{4\cdot 0}+4=1+4=5[/m]

[m]x=1[/m] ⇒ [m]y=e^{4\cdot 1}+4=e^{4}+4[/m]

[m]V_{Oy}=π ∫_{5}^{e^{4}+4}(\frac{1}{4}ln(y-4))^2dy=\frac{π}{16} ∫_{5}^{e^{4}+4}ln^2(y-4))dy[/m]

Интегрирование по частям

[m]u=ln^2(y-4)[/m] ⇒ [m]du=2ln(y-4)\cdot (ln(y-4))`dy=\frac{2ln(y-4)}{y-4}dy[/m]

[m]dv=dy[/m] ⇒ [m]v=y[/m]

[m]∫ln^2(y-4))dy=y\cdot ln^2(y-4)- ∫ y\cdot \frac{2ln(y-4)}{y-4}dy=[/m]

еще раз по частям:

[m]u=ln(y-4)[/m] ⇒ [m]du= (ln(y-4))`dy=\frac{1}{y-4}dy[/m]

[m]dv=\frac{y}{y-4}dy[/m] ⇒ [m]v= ∫\frac{y}{y-4}dy [/m]... считайте