Задача 63719 3. Интегрирование рациональных функций...
Условие
Решение
[m]x^2-2x+2=x^2-2x+1+1=(x-1)^2+1[/m]
[m] ∫ \frac{3x+1}{x^2-2x+2}dx= ∫ \frac{3x+1}{(x-1)^2+1}dx=[/m]
Замена переменной:
[m]x-1=t[/m]
[m]x=t+1[/m]
[m]dx=dt[/m]
[m] ∫ \frac{3x+1}{x^2-2x+2}dx= ∫ \frac{3(t+1)+1}{t^2+1}dt= ∫ \frac{3t+4}{t^2+1}dt= ∫ \frac{3t}{t^2+1}dt+ \frac{4}{t^2+1}dt [/m]
Оба интеграла табличные.
Первый считаем по формуле [m] ∫ \frac{du}{u}=ln|u|+C[/m]
[m]u=t^2+1[/m]
[m]du=2tdt[/m]
[m]tdt=\frac{1}{2}du[/m]
Второй по формуле [m] ∫ \frac{dx}{x^2+1}=arctg x +C[/m]
О т в е т. [m] ∫ \frac{3x+1}{x^2-2x+2}dx= ∫ \frac{3t}{t^2+1}dt+ ∫ \frac{4}{t^2+1}dt =3 ∫\frac{\frac{1}{2}du}{u}+4arctgt+C= [/m]
[m]=\frac{3}{2}ln|t^2+1|+4arctgt+C=\frac{3}{2}ln|x^2-2x+2|+4arctg(x-1)+C[/m]
Все решения
