Задача 63707 ...
Условие
б) укажите все корни, принадлежащие отрезку [13π/2; 8π]
Решение
[m]11x^2–2cosx–4√3sin^2x=121^{x}[/m]
Так как [m]sin^2x=1-cos^2x[/m], то
[m]11x^2–2cosx–4√3(1-cos^2x)=(11^2)^{x}[/m]
[m]11x^2–2cosx+4√3cos^2-4√3=(11)^{2x}[/m]
[m]4√3cos^2x-2cosx-4√3=(11)^{2x}-11x^2[/m]
По всей видимости справа должен быть 0
Это получится если вместо 11 x^2 в условии будет [m](11^{x})^2[/m]
[m]4√3cos^2x-2cosx-4√3=0[/m] - квадратное уравнение относительно [m]cosx=t[/m]
[m]4√3t^2-2t-4√3=0[/m]
D=4-4*(4√3)*(-4√3)=4+4*48=4*(`1+48)=4*49=(2*7)^2=14^2
[m]t_{1}=\frac{2-14}{8√3}[/m] или [m]t_{2}=\frac{2+14}{8√3}[/m]
[m]t_{1}=-\frac{√3}{2}[/m] или [m]t_{2}=\frac{2}{√3}[/m]
Обратная замена:
[m]cosx=-\frac{√3}{2}[/m] или [m]cosx=\frac{2}{√3}[/m] уравнение не имеет корней, так как [m]\frac{2}{√3}>1[/m]
[m]cosx=-\frac{√3}{2}[/m] ⇒ [m]x= ± arccos(-\frac{√3}{2})+2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] ⇒
[m]x= ±( π-arccos\frac{√3}{2})+2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] ⇒
[m]x= ±( π-\frac{π}{6})+2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] ⇒
[m]x= ± \frac{5π}{6}+2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] - о т в е т.
б)
Указанному отрезку принадлежат корни:
[m]x_(1)= \frac{5π}{6}+6π= \frac{41π}{6} [/m]
[m]x_(2)= -\frac{5π}{6}+8π=\frac{43π}{6} [/m]