Задача 63704 Линия Г задана уравнением в ПДСК....

6206a18377cb6e01fe988405

19.03.2022 19:47:38

Линия Г задана уравнением в ПДСК. Определите тип этой линии. При решение обратите внимание, что точка А не является точкой касания. Вариант №7.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.03.2022 10:27:46

★

[m]16x^2-9y^2+144=0[/m]

[m]16x^2-9y^2=- 144[/m] Делим на 144

[m]\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1[/m] - каноническое уравнение гиперболы вида

[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1[/m]

с [i]действительной[/i]осью[b] Оу[/b], [i]мнимой[/i] осью[b] Ох.[/b]

Значит

b^2=9 ⇒ b=3 -мнимая полуось
a^2=16 ⇒ a=4- действительная полуось

[m]y= ± \frac{a}{b}x[/m] - уравнения асимптот гиперболы [m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1[/m]

В данной задаче:

[m]y= ± \frac{4}{3}x[/m] - уравнения асимптот


с^2=b^2+a^2=3^2+4^2=9+16=25

c=5

фокусы
F_(1)(0;-5) и F_(2)(0;5)

Фокусы на оси Оу

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к [i]действительной[/i] оси

[m]ε =\frac{c}{a}[/m]

[b][m]ε =\frac{5}{4}[/m][/b]

Директрисы гиперболы [m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1[/m]


[m]y= ± \frac{a}{ ε }[/m]

В данной задаче


[m]y= ± \frac{4}{ \frac{5}{4} }[/m]

[m]y= ± \frac{16}{5}[/m]

[m]y= ± 3,2[/m]



б)

Уравнение касательной к гиперболе [m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m] в точке M(x_(o);y_(o)) имеет вид:

[m]\frac{x\cdot x_{o}}{a^2}-\frac{y\cdot y_{o}}{b^2}=1[/m]

Значит, уравнение касательной к данной гиперболе [m]\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1[/m] имеет вид:

[m]\frac{x\cdot x_{o}}{9}-\frac{y\cdot y_{o}}{16}=-1[/m]


По условию касательная проходит через точку А(-4;2)

[m]\frac{-4\cdot x_{o}}{9}-\frac{2\cdot y_{o}}{16}=-1[/m]

и точка M_(o) лежит на гиперболе, значит ее координаты удовлетворяют уравнению:

[m]\frac{x^2_{o}}{9}-\frac{y^2_{o}}{16}=-1[/m]


Решаем систему двух уравнений:

[m]\left\{\begin {matrix}\frac{-4\cdot x_{o}}{9}-\frac{2\cdot y_{o}}{16}=-1\\\frac{x^2_{o}}{9}-\frac{y^2_{o}}{16}=-1\end {matrix}\right.[/m] ⇒[m]\left\{\begin {matrix}x_{o}=\frac{72-9y_{o}}{32}\\\frac{(\frac{72-9y_{o}}{32})^2}{9}-\frac{y^2_{o}}{16}=-1\end {matrix}\right.[/m] ⇒[m]\left\{\begin {matrix}x_{o}=\frac{72-9y_{o}}{32}\\(72-9y_{o})^2=576y^2_{o}-9216\end {matrix}\right.[/m]

Решаем систему, находим координаты точки М

подставляем их в уравнение касательной [m]\frac{x\cdot x_{o}}{9}-\frac{y\cdot y_{o}}{16}=-1[/m]

и получаем ответ