Задача 63679 На общем основании построены два конуса...

620fe371c1d3ea2cf1a26ed8

17.03.2022 14:24:01

На общем основании построены два конуса один внутри другого так, что их вершины находятся на одной прямой, на расстоянии 12 одна от другой. Определите поверхность тела, ограниченного коническими поверхностями этих конусов, если угол при вершине осевого сечения одного конуса равен 120°, а другого 60°.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.03.2022 09:05:56

★

[b]На общем основании[/b] построены два конуса один внутри другого так, что их [b]вершины находятся на одной прямой[/b], на расстоянии 12 одна от другой.
Угол при вершине осевого сечения одного конуса равен 120°, а другого 60°.

На рисунке только осевые сечения конусов, а это треугольники.

Ясно, что тупоугольный треугольник внутри.

α =120 °
β =60 °

h=CC_(1)=12

СО- биссектриса

Пусть ОС_(1)=x

tg (β /2)=AO/CO ⇒ β /2=30 ° ⇒ AO/CO =1/sqrt(3) ⇒ AO=(12+x)/sqrt(3)
tg ( α /2)=AO/C_(1)O ⇒ α /2=60 ° ⇒ AO/C_(1)O=sqrt(3) ⇒ AO=x*sqrt(3)

АО=АО
(12+x)/sqrt(3)=x*sqrt(3)
12+x=3x
2x=12
[b]x=6[/b]

[b]АО=6sqrt(3)[/b]

Радиус общего основания конусов :
АО=[b]R=6sqrt(3)[/b]

Образующие:
L=АС=OC/cos30 ° =36/sqrt(3)=12sqrt(3)

[i]l[/i]=АС_(1)=OC_(1)/cos60 ° =12/sqrt(3)=4sqrt(3)

V=V_(1)-V_(2)=(1/3)πR(L-[i]l[/i])=(1/3)*π*6sqrt(3)*(12sqrt(3)-4sqrt(3))=(1/3)*π*6sqrt(3)*(8sqrt(3)=[red][b]48π[/b][/red]