Задача 63624 ...
Условие
б)укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]
Решение
[m]2cos^2x – 3 √3cos(\frac{3π}{2}–x)+4=0[/m]
По формулам приведения:
[m]cos(\frac{3π}{2}–x)=-sinx[/m]
Так как
cos²x = 1 – sin²x, уравнение принимает вид
[m]2\cdot (1 – sin²x)+3 √3sinx+4=0[/m]
или
[m]2 sin²x-3 √3sinx-6=0[/m] - квадратное уравнение относительно [m]sinx[/m]
[red]Замена переменной:[/red] [m]sinx=t[/m]
[m]2 t^2-3 √3t-6=0[/m]
D=(-3 √3)^2-4*2*(-6)=75
sqrt((D))=sqrt((75))=5sqrt(3)
[m]t_{1}=\frac{3\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{4}[/m] или [m]t_{2}=\frac{3\sqrt{3}+5\sqrt{3}}{4}[/m]
[m]t_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m] или [m]t_{2}=2\sqrt{3}[/m]
Обратный переход к переменной х:
[m]sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m] или [m]sinx=2\sqrt{3}[/m] - уравнение не имеет корней, так как [m]-1 ≤ sinx ≤1[/m]
и не принимает значения [m]2\sqrt{3}>1[/m]
Решаем уравнение
[m]sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]x=(-1)^{k} arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}+πk, k∈ [/m][b]Z;[/b]
[m]x=(-1)^{k} \frac{π}{3}+πk, k∈ [/m][b]Z;[/b] - ответ
б) укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]
[m]x=(-1)^{k} \frac{π}{3}+πk, k∈ [/m][b]Z;[/b]
при [m] k=2n[/m] получаем серию ответов, расположенную в первой четверти
[m]x= \frac{π}{3}+2πn, n∈ [/m][b]Z;[/b]
при [m] k=2n+1[/m] получаем серию ответов, расположенную во второй четверти
[m]x=- \frac{π}{3}+2πn+π, n∈ [/m][b]Z;[/b]
[m]x= \frac{2π}{3}+2πn, n∈ [/m][b]Z;[/b]
Указанному отрезку [m] [2π; \frac{7π}{2}][/m] принадлежат корни:
[m]x= \frac{π}{3}+2π=\frac{7π}{3} [/m]
и
[m]x= \frac{2π}{3}+2π=\frac{8π}{3}[/m]
б)[m] \frac{7π}{3}; \frac{8π}{3}[/m] - о т в е т