Задача 63607 Вычислить приближенно сумму ряда с...
Условие
Решение
Тогда
n-ая частичная сумма ряда:
[m]S_{n}=-(\frac{1}{1+1}-\frac{1}{1}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^3})+(\frac{1}{2+1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3})-
(\frac{1}{3+1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3})+...[/m]
[m]...+(-1)^{n-1}(\frac{1}{n-1+1}-\frac{1}{(n-1)}+\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{(n-1)^3})+(-1)^{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})=[/m]
Теперь надо проследить какие слагаемые останутся.
[m]S_{n}=-2+\frac{2}{3}+-
(\frac{1}{3+1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3})+...+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}+(-1)^{n+1}\frac{1}{(n-1)}+(-1)^{n}\frac{1}{n+1}+(-1)^{n+1}\frac{1}{n}[/m]
И тогда
[m]lim_{n → ∞ }S_{n}=-2+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3} ≈ -1,33334[/m]