Задача 63583 Найти точки разрыва функции и определить...
Условие
Решение
На (0;π/2) функция непрерывна, так как y=tgx непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ ) кроме точек x=(π/2)+πk, k ∈ Z
На (π/2;π) функция непрерывна, так как y=tgx непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ ) кроме точек x=(π/2)+πk, k ∈ Z
На (π ;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=x непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках
х=0 ; x=(π/2); x=π
Исследуем точку x=0
Находим предел слева:
lim_(x →-0)f(x)=lim_(x → -0)0=0
Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(tgx)=tg0=0
предел слева = пределу справа ⇒ предел функции в точке х=0 существует, равен 0
и равен значению функции в этой точке.
x=0 - точка [i]непрерывности[/i]
Исследуем точку x=(π/2)
Находим предел слева:
lim_(x →(π/2)-0)f(x)=lim_(x → -0)tgx=+ ∞
Односторонний предел равен ∞ , значит
х=(π/2) - точка разрыва второго рода
Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(tgx)=- ∞
Исследуем точку x=π
Находим предел слева:
lim_(x →π-0)f(x)=lim_(x → -0)tgx=tg(π -0)
Находим предел справа:
lim_(x →π +0)f(x)=lim_(x → +0)x=(π +0)=π
Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=π
х=π - [i]точка разрыва первого рода[/i]
Точек устранимого разрыва нет
