Задача 63550 Исследовать ряд на сходимость ...
Условие
Решение
Применяем признак Абеля
1)
Последовательность (a_(n))
a_(n)=[m]\frac{sin\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}{\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}} [/m] ограничена, так как
[m]lim_{n → +∞ }\frac{sin\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}{\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}=1[/m] ( первый замечательный предел)
2)
Ряд[m]∑_{1}^{+ ∞}\frac{n+\sqrt{n+1}}{\sqrt[4]{n^5+3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} [/m]- сходится
так как эквивалентен ряду [m]∑_{1}^{+ ∞}\frac{n}{\sqrt[4]{n^{5}\cdot n}} [/m] или
[m]∑_{1}^{+ ∞}\frac{1}{\sqrt[4]{n^{5}}}[/m],
который сходится как обобщенный гармонический ряд [m]∑_{1}^{+ ∞}\frac{1}{n^{p}}[/m]
p>1
О т в е т. Ряд сходится по признаку Абеля