Задача 63546 В правильной треугольной призме...

6223793beaf32e4fd8101814

05.03.2022 17:53:33

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 3.
а) Докажите, что прямая AB1 параллельна прямой, проходящей через середины отрезков
AC и BC1.
б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.03.2022 09:22:26

★

a)

Вводим систему координат ( см. рис)
A(3;0;0)
B([m]\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2}[/m];0)
C(0;0;0)
A_(1)(3;0;3)
B_(1)([m]\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2}[/m];3)
C_(1)(0;0;3)

Тогда
D([m]\frac{3}{4}; \frac{3\sqrt{3}}{4};\frac{3}{2}[/m])
E([m]\frac{3}{2};0;0[/m])

Находим

vector{AB_(1)}=([m]\frac{3}{2}-3;\frac{3\sqrt{3}}{2}-0[/m];3-0)=([m]-\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2}[/m];3)
vector{ED}=([m]\frac{3}{4}-\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{4}-0;\frac{3}{2}-0[/m])=([m]-\frac{3}{4}; \frac{3\sqrt{3}}{4};\frac{3}{2}[/m])

Координаты пропорциональны.

Векторы коллинеарны,
значит прямые АВ_(1) и ED - [b]параллельны.[/b]

б)


vector{BC_(1)}=(0-[m]\frac{3}{2}[/m];0-[m]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/m];3-0)=([m]-\frac{3}{2}[/m];[m]-\frac{3\sqrt{3}}{2}[/m];3)

[m]|\vec{AB_{1}}|= |\vec{BC_{1}}|=3\sqrt{2}[/m] - диагонали квадратов со стороной 3

[m]cos ∠(\vec{AB_{1}},\vec{BC_{1}})=\frac{\vec{AB_{1}}\cdot \vec{BC_{1}} }{|\vec{AB_{1}}|\cdot |\vec{BC_{1}}|}=\frac{(-\frac{3}{2})\cdot (\frac{3}{2})+\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot(-\frac{3\sqrt{3}}{2})+3\cdot 3}{3\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}=0 [/m]

[m] ∠(\vec{AB_{1}},\vec{BC_{1}})=90 ° [/m]


Второй способ:

Угол между АВ_(1) и ВС_(1) равен углу между ED и ВС_(1)

Можно найти по теореме косинусов из треугольника BED