Задача 63544 Интегралы......
Условие
Решение
[m] ∫ tg^3 x dx= ∫ tgx\cdot tg^2xdx= ∫ tgx \cdot (\frac{1}{cos^2x}-1)dx= ∫ tgx \cdot \frac{1}{cos^2x}dx - ∫ tgx dx=[/m]
[m]= ∫ tgx d(tgx)- ∫ \frac{d(cosx)}{sinx}=\frac{tg^2x}{2}-ln|sinx|+C[/m]
2.
Интегрирование рациональных дробей.
Раскладываем дробь на простейшие
[m]\frac{3x-2}{x(x-1)^3}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{D}{(x-1)^2}+\frac{F}{(x-1)^3}[/m]
[m]3x-2=A(x-1)^3+Bx(x-1)^2+Dx(x-1)+Fx[/m]
Применяем метод частных значений:
x=1
[m]3\cdot 1-2=A\cdot (1-1)^3+B\cdot 1\cdot (1-1)^2+D\cdot 1\cdot (1-1)+F\cdot 1[/m] ⇒[b] F=1[/b]
x=0
[m]3\cdot 0-2=A\cdot (0-1)^3+B\cdot 0\cdot (0-1)^2+D\cdot 0\cdot (0-1)+F\cdot 0[/m] ⇒[b]A=2[/b]
x=2
[m]3\cdot 2-2=A\cdot (2-1)^3+B\cdot 2\cdot (2-1)^2+D\cdot 2\cdot (2-1)+F\cdot 2[/m] ⇒
4=A+2B+2D+2F
4=2+2B+2D+2
[b]B=-D[/b]
x=-1
[m]3\cdot (-1)-2=A\cdot (-1-1)^3+B\cdot(- 1)\cdot (-1-1)^2+D\cdot (-1)\cdot (-1-1)+F\cdot(- 1)[/m] ⇒
-5=-8A-4B+2D-F
-5=-16-4B+2D-1
12=-4B-2B
[b]B=-2[/b]
[b]D=2[/b]
[m]\frac{3x-2}{x(x-1)^3}=\frac{2}{x}-\frac{2}{(x-1)}+\frac{2}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)^3}[/m]
[m] ∫ \frac{3x-2}{x(x-1)^3}dx= ∫ \frac{2}{x}dx- ∫ \frac{2}{(x-1)}dx+ ∫ \frac{2}{(x-1)^2}dx+ ∫ \frac{1}{(x-1)^3}dx=[/m]
[m]=2ln|x|-2ln|x-1|-\frac{2}{x-1}-\frac{1}{2(x-1)^2}+C[/m]