Задача 63541 Решить интеграл...
Условие
Решение
( см. скрин.)
∫ dx/(5-3cosx)= ∫ 2dt/(1+t^2)/(5-3 *(1-t^2)/(1+t^2))= ∫ 2dt/(8t^2+2)=∫ 2dt/8*(t^2+(1/4))=(1/4)∫ dt/(t^2+(1/4))=
табличный интеграл ( см. скрин 2)
a=1/2
[b]=(1/4)*(1/(1/2))*arctg(tg(x/2))/1/2)+C[/b]
То же самое получим, если просто применим формулы:
Применяем формулы:
cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
1=cos^2(x/2)+sin^2(x/2)
5-3cosx=5*(cos^2(x/2)+sin^2(x/2))-3*(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))=2cos^2(x/2)+8sin^2(x/2)
Тогда
∫ dx/(5-3cosx)= ∫ dx/(2cos^2(x/2)+8sin^2(x/2))
выносим cos^2(x/2) за скобки:
∫ dx/(2cos^2(x/2))*4*(tg^2(x/2)+(1/4))=
так как d(tg(x/2))=(1/2)dx/(cos^2(x/2))
=(1/4)∫ d(tg(x/2))/(tg^2(x/2)+(1/4))=
табличный интеграл ( см. скрин)
=(1/4)*(1/(1/2))*arctg(tg(x/2))/1/2)+C=([b]1/2)arctg(2tg(x/2))+C[/b]
Все решения