Задача 63515 Точка движется прямолинейно по закону S...

6220ffcf496fb012cba7e040

04.03.2022 19:27:03

Точка движется прямолинейно по закону S (t)=-4t^5/5+8t^3. (S(t)-в метрах, t-в секундах). В какой момент времени из отрезка [5;11] скорость движения точки будет наибольшей? Найдите величину этой скорости.
.........

5f3ea7e3faf909182968ddd9

04.03.2022 23:42:44

★

[m]v(t)=S`(t)=(-\frac{4}{5}t^5+8t^3)`=-\frac{4}{5}\cdot 5t^4+8\cdot 3t^2=-4t^4+24t^2[/m]

[m]v(t)=-4t^4+24t^2[/m] - скорость также является функцией, зависящей от t.

Исследуем ее на экстремум с помощью производной

[m]v`(t)=(-4t^4+24t^2)`=-4\cdot 4t^3+24\cdot 2t=-16t^3+48t[/m]

[m]v`(t)=0[/m]

[m]-16t^3+48t=0[/m]

[m]-16t(t^2-3)=0[/m]

t=0; t= ± sqrt(3)

Знак производной:

__-__ (-sqrt(3)) ___+__ (0) _____+____ (sqrt(3)) ______-_____

Отрезок [5;11] принадлежит интервалу (sqrt(3);+ ∞ )

На [5;11] производная отрицательна, значит функция

[m]v(t)=-4t^4+24t^2[/m] [i]убывает[/i] на [5;11] и наибольшее значение принимает в точке[m] x=5[/m]


[m]v(5)=-4\cdot 5^4+24\cdot 5^2=4\cdot 5^2(-5^2+6)=100\cdot (-19)=-1900[/m]м/с