Задача 63483 Решить интеграл...

61bf4c49aa82816171682d69

03.03.2022 18:26:49

Решить интеграл

5f3ea7e3faf909182968ddd9

03.03.2022 21:02:16

[m] ∫ \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx=[/m]

см. интегрирование некоторых иррациональностей.

[b]Замена переменной[/b] ( стандартная)

[m]\sqrt{x}=t[/m] ⇒ [m]x=t^2[/m] ⇒

[m]dx=(t^2)`dt[/m] ⇒

[m]dx=2tdt[/m]


Тогда

[m] ∫ \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx=∫ \frac{t}{1+t}(2tdt)= 2∫\frac{t^2}{t+1}dt [/m]

Отнимем и Прибавим в числителе:

[m]= 2∫\frac{t^2-1+1}{t+1}dt [/m]=представим как сумму двух интегралов

[m]=2\cdot ( ∫ \frac{t^2-1+1}{t+1}dt + ∫ \frac{1}{t+1}dt )=[/m]

[m]=2\cdot ( ∫(t-1)dt + ∫ \frac{d(t+1)}{t+1})=2(\frac{t^2}{2}-t+ln|t+1|+C[/m]

[m]=t^2-2t+2ln|t+1|+C=[/m]

возвращаемся к переменной х:

[red][m]=x-2\sqrt{x}+2ln|\sqrt{x}+1|+C[/m] [/red]