Задача 63477 Решить интеграл ...
Условие
математика ВУЗ
152
Решение
★
⇒
[red]Выделяем полный квадрат[/red]:
3-2x-x^2=(-x^2-2x)+3=-(x^2+2x+1-1)+3=-(x^2+2x+1)+1+3=4-(x+1)^2
И [red]замена переменной[/red]
x+1=t
x=t-1
dx=(t-1)`dt=dt
Получим
∫ (5x+1)dx/sqrt(3-3x-x^2)= ∫ 5*(t-1)dt/sqrt(4-t^2)= раскладываем на сумму интегралов
= 5∫ tdt//sqrt(4-t^2) - 5∫ dt/sqrt(4-t^2)
Первый интеграл по формуле: ∫ du/sqrt(u)=2sqrt(u)
u=4-t^2
du=-2tdt
tdt=(-1/2)du
Второй интеграл по формуле: ∫ dt/sqrt(a^2-t^2)=arcsin(t/a)
a^2=4
a=2
Продолжаем:
= 5∫ tdt//sqrt(4-t^2) - 5∫ dt/sqrt(4-t^2)=(-5/2)*2sqrt(4-t^2)-5arcsin(t/a)+C
=-5sqrt(3-2x-x^2)-5arcsin((x+1)/2)+C - это ответ