Задача 63454 Индивидуапьное домашнее задание по теме...
Условие
Решение
На (0;1) функция непрерывна, так как y=4x^2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (1;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=4 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках
х=0 и х=1
x=0
Находим предел слева:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(1+x)=1+(-0)=1
Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)4x^2=0
предел слева ≠ пределу справа Это означает, что функция не имеет предела в точке
Значит[b] не является [/b][i]непрерывной[/i]
Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=0
который равен разности значений справа и слева
y(-0)=1+(-0)=1; y(+0)=4*0^2=0
Скачок 1-0=2 - скачок ([i]конечный[/i])
х=0 - [i]точка разрыва первого рода[/i]
x=1
Находим предел слева:
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x →1-0)4x^2=4*(1-0)^2=4
Находим предел справа:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x →1+0)4=4
предел слева = пределу справа lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x →1 +0)f(x)=4
Это означает, что функция имеет предел в точке
lim_(x →1 )f(x)=[b]4[/b]
По определению непрерывности этот предел должен равняться значению функции в точке
f(4)=4*1^2=[b]4[/b]
Так как lim_(x →1 )f(x)=f(1)- предел функции в точке, раен значению фукции в точке
⇒ функция непрерывна в точке х=1
x=1 - точка [i]непрерывности[/i]
2.
Область определения (- ∞ ;-2)U(-2;+ ∞ )
Исследуем точку х=-2
f(-2-0)= lim_(x→(-2-0)e^(1/(x+2))=2^(- ∞)=0
f(-2+0)= lim_(x→(-2+0)e^(1/(x+2))=2^(+ ∞)=+ ∞
Один из односторонних пределов бесконечный, значит
х=-2 - [b]точка разрыва второго рода[/b]
Исследуем точку х=0
f(-0)= lim_(x→(-0)e^(1/(0+2))=e^(1/2=sqrt(e)
f(+0)= lim_(x→(-2+0)e^(1/(0+2))=e^(1/2)=sqrt(e)
х=0 -[b] точка непрерывности[/b]