Задача 63442 42.1 Найдите производную функции в...
Условие
Решение
[m]f`(x_{o})=lim_{ Δx → 0}\frac{f(x_{o}+ Δx)-f(x_{o})}{ Δx}[/m]
1) [m]f(x)=2+\frac{3x+1}{5x+1}[/m]
[m]f(x_{o}+ Δx)=2+\frac{3(x_{o}+ Δx)+1}{5(x_{o} +Δx)+1}[/m]
[m]f(x_{o})=2+\frac{3x_{o}+1}{5x_{o}+1}[/m]
[m]f(x_{o}+ Δx)-f(x_{o})=2+\frac{3(x_{o}+ Δx)+1}{5(x_{o} +Δx)+1}-(2+\frac{3x_{o}+1}{5x_{o}+1})=
\frac{3(x_{o}+ Δx)+1}{5(x_{o} +Δx)+1}-\frac{3x_{o}+1}{5x_{o}+1}=\frac{(3x_{o}+3 Δx+1)(5x_{o}+1)-(3x_{o}+1)(5x_{o} +5Δx+1)}{(5(x_{o} +Δx)+1)(5x_{o}+1)}=[/m]
Упрощаем, раскрываем скобки в числителе, приводим подобные:
[m]=\frac{15x^2_{o}+15x_{o} Δx)+5x_{o}+3x_{o}+3 Δx+1-15x^2_{o}-5x_{o}-15x_{o} Δx-5 Δx-3x_{o}-1)}{(5x_{o} +5Δx+1)(5x_{o}+1}=\frac{15x^2_{o}+15x_{o} Δx)+5x_{o}+3x_{o}+3 Δx+1-15x^2_{o}-5x_{o}-15x_{o} Δx-5 Δx-3x_{o}-1}{(5x_{o} +5Δx+1)(5x_{o}+1)}[/m]
[m]=\frac{-2 Δx}{(5x_{o} +5Δx+1)(5x_{o}+1)}[/m]
Тогда
[m]f`(x_{o})=lim_{ Δx → 0}\frac{f(x_{o}+ Δx)-f(x_{o})}{ Δx}=lim_{ Δx → 0}\frac{\frac{(-2 Δx)}{(5x_{o} +5Δx+1)(5x_{o}+1)}}{ Δx}=lim_{ Δx → 0}\frac{(-2)}{(5x_{o} +5Δx+1)(5x_{o}+1)}=-\frac{2}{(5x_{o}+0+1)(5x_{o}+1)}=-\frac{2}{(5x_{o}+1)^2}[/m]
[m]f`(4)=-\frac{2}{(5\cdot 4+1)^2}=-\frac{2}{21^2}=-\frac{2}{441}[/m]
Геометрический смысл производной в точке:
[m]k[/m]_( касательной)[m]=f`(x_{o})[/m]
Касательная - прямая, геометрический смысл углового коэффициента прямой - тангенс угла, который образует прямая с положительным направлением оси Ох
[m]k=tg α [/m]
⇒[r] [m]k[/m]_( касательной)[m]=tg α =f`(x_{o})=[/m][/r]
В данной задаче
угловой коэффициент касательной к кривой [m]y=2+\frac{3x+1}{5x+1}[/m] в точке [m]x=4/m]
[m]k[/m]_( касательной)[m]=tg α = -\frac{2}{441}[/m] ⇒ [m] α =arctg(- \frac{2}{441})[/m]
касательная почти параллельна оси Ох
Физический смысл производной:
если функция задает путь движения материальной точки, зависящий от времени t
[m] y=S(t)[/m], то
v_(средняя)[m](t) =\frac{S(t_{o}+ Δt)-S(x_{o})}{ Δt[/m]
v_([red]мгновенная[/red])[m](t) =S`(t)lim_{ Δt → 0}\frac{S(t_{o}+ Δt)-S(x_{o})}{ Δt}[/m] - та скорость, которую показывает стрелка спидометра
Поэтому в задаче, если
[m]S(t)=2+\frac{3t+1}{5t+1}[/m]
[m]S`(4)=-\frac{2}{441}[/m]- [red]мгновенная скорость[/red] точке [b]х=4[/b]