Задача 63436 Логарифмическое неравенство...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}2x>0\\x>0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [red]x>0
[/red]
По формуле перехода к другому основанию:
[m]log_{4}2x=\frac{log_{2}2x}{log_{2}4}[/m]
Применяем свойство логарифма произведения:
[m]log_{2}2x=log_{2}x+log_{2}2=log_{2}x+1[/m] ⇒ [m]log^2_{4}2x=(\frac{log_{2}x+1}{2})^2[/m]
По формуле перехода к другому основанию:
[m]log_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{log_{2}\frac{\sqrt{x}}{2}}{log_{2}\frac{1}{2}}[/m]
Применяем свойство логарифма степени и логарифма частного:
[m]log_{2}\frac{\sqrt{x}}{2}=log_{2}\sqrt{x}-log_{2}2=\frac{1}{2}log_{2}x-1[/m]
Тогда неравенство можно записать в виде
[m](\frac{log_{2}x+1}{2})^2+\frac{\frac{1}{2}log_{2}x-1}{(-1)}>1, 5[/m]
[m]\frac{log^2_{2}x+2 log_{2}x+1}{4}-\frac{1}{2}log_{2}x+1>\frac{3}{2}[/m]
Умножаем на 4:
[m]log^2_{2}x+2 log_{2}x+1-2log_{2}x+4>6[/m]
[m]log^2_{2}x-1>0[/m]
[m](log_{2}x-1)(log_{2}x+1)>0[/m] ⇒ \\\\\\\\ (-1) _____ (1) /////////
[m]log_{2}x<-1[/m] или [m]log_{2}x>1[/m]
С учетом ОДЗ:
[red]0 <[/red][m] x < \frac {1}{2}[/m] или [m] x> 2[/m]
О т в е т [m] (0;\frac {1}{2}) \cup (2:+ ∞ )[/m]