Задача 63431 Решите систему...

621b618adc65de25325dc169

28.02.2022 16:26:43

Решите систему уравнений:
а)[m]\left\{\begin{matrix}sqrt((7*x+y))+sqrt((y+x))=6\\sqrt((y+x))+x-y=2 \end{matrix}\right.[/m]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.02.2022 17:14:53

★

[m]\left\{\begin {matrix}\sqrt{7x+y}+\sqrt{y+x}=6\\\sqrt{y+x}+x−y=2\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}\sqrt{y+x}=6-\sqrt{7x+y}\\\sqrt{y+x}=2-x+y\end {matrix}\right.[/m]


Приравниваем правые части, получаем первое уравнение


[m]\left\{\begin {matrix}\sqrt{7x+y}=y-x+4\\\sqrt{y+x}=2-x+y\end {matrix}\right.[/m]

Возводим в квадрат:

[m]\left\{\begin {matrix}7x+y=(y-x+4)^2\\y+x=(2-x+y)^2\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}7x+y=y^2+x^2+16-2xy+8y-8x\\y+x=4+x^2+y^2-4x+4y-2xy\end {matrix}\right.[/m] см. скрин возведения в квадрат трехчлена

[m]\left\{\begin {matrix}15x-7y-16=y^2-2xy+x^2\\5x-3y-4=+x^2+y^2-2xy\end {matrix}\right.[/m]

Приравниваем левые части, так как правые одинаковые

[m]\left\{\begin {matrix}15x-7y-16=5x-3y-4\\5x-3y-4=x^2+y^2-2xy\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}10x-4y=12\\5x-3y-4=x^2+y^2-2xy\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}y=\frac{5x-6}{2}\\5x-3\cdot \frac{5x-6}{2}-4=x^2+(\frac{5x-6}{2})^2-2x\cdot \frac{5x-6}{2}\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}y=\frac{5x-6}{2}\\5x- \frac{15x}{2}+9-4=x^2+\frac{25x^2-60x+36}{4}-5x^2+6x\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}y=\frac{5x-6}{2}\\20x- 30x+20=4x^2+25x^2-60x+36-20x^2+24x\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}y=\frac{5x-6}{2}\\9x^2-26x+16=0\end {matrix}\right.[/m] D=100

[m]\left\{\begin {matrix}y=\frac{5\cdot \frac{8}{9}-6}{2}\\x=\frac{8}{9}\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}y=\frac{5\cdot 2-6}{2}\\x=2\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}y=- \frac{7}{9}\\x=\frac{8}{9}\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}y=3\\x=2\end {matrix}\right.[/m]


Делаем проверку, так как могли появиться посторонние корни, возводили в квадрат