Задача 63416 ...

61bf0c73293da3503183e336

28.02.2022 12:24:16

Решить интеграл
на фото ∫ 2x+3/x^2-5x+6

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.02.2022 13:13:59

★

x^2-5x+6=(x-(5/2))^2+(1/2)^2


[m] ∫ \frac{2x+3}{x^2-5x+6}dx=∫ \frac{2x+3}{(x-\frac{5}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}dx=[/m]

Замена переменной:

[m]x-\frac{5}{2}=t[/m] ⇒ [m]x=t+\frac{5}{2}[/m] и [m]dx=dt[/m]

получаем:

[m]∫ \frac{2\cdot (t+\frac{5}{2})+3}{t^2+(\frac{1}{2})^2}dt=∫ \frac{2\cdot t+5+3}{t^2+(\frac{1}{2})^2}dt= ∫\frac{2 t}{t^2+(\frac{1}{2})^2}dt +8 ∫ \frac{1}{t^2+(\frac{1}{2})^2}dt =ln|t^2+(\frac{1}{2})^2|+8\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}arctg\frac{t}{\frac{1}{2}}+C= [/m]

[m]=ln|x^2-5x+6|+16 arctg \frac{x-\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}}+C=ln|x^2-5x+6|+16 arctg (2x-5)+C[/m]