Задача 63403 Решите систему уравнений: а)...
Условие
а) [m]Код:\left\{
\frac{3}{2x-y} + \frac{2}{x+y} = \frac{4}{x},
x^2+2y^2 = 72.
\right.[/m]
Решение
Упрощаем первое уравнение:
[m]\frac{3}{2x−y}+\frac{2}{x+y}=\frac{4}{x}[/m] ⇒ [m]\frac{3(x+y)+2(2x-y)}{(2x−y)(x+y)}=\frac{4}{x}[/m] ⇒[m]\frac{3x+3y+4x-2y}{(2x^2−xy+2xy-y^2)}=\frac{4}{x}[/m] ⇒ [m]\frac{7x+y}{(2x^2+xy-y^2)}=\frac{4}{x}[/m]
пропорция.
[m](7x+y)\cdot x=4\cdot (2x^2+xy-y^2)[/m] ⇒ [m]7x^2+xy=8x^2+4xy-4y^2[/m] ⇒[m]x^2+3xy-4y^2=0[/m]
Получили систему:
[m]\left\{\begin {matrix}x^2+3xy-4y^2=0\\x^2+2y^2=72\end {matrix}\right.[/m]
[m]x^2+3xy-4y^2=0[/m] однородное уравнение Можно разделить на y^2 или разложить на множители
[m] \frac{x^2}{y^2}+3\frac{x}{y}-4=0[/m] Квадратное уравнение [m]\frac{x}{y}=1[/m] или [m]\frac{x}{y}=-4[/m]
или разложить на множители [m](x-y)(x+4y)=0[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x-y=0\\x^2+2y^2=72\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x+4y=0\\x^2+2y^2=72\end {matrix}\right.[/m]
Каждую систему решаем способом подстановки