Задача 63387 Определить сходимость несобственного...
Условие
математика ВУЗ
119
Решение
★
так как [m] \frac{1}{x^2}[/m] не определена в точке х=0
[m]d(\frac{1}{x^2})=(\frac{1}{x^2})`dx=-\frac{2}{x^3}dx[/m] ⇒
[m]\frac{1}{x^3}dx=-\frac{1}{2}d(\frac{1}{x^2})[/m]
[m] ∫ _{0}^{\sqrt{\frac{2}{π}}}\frac{cos(\frac{1}{x^2})}{x^3}dx=lim_{ ε →0 }∫ _{ ε }^{\sqrt{\frac{2}{π}}}cos(\frac{1}{x^2})\cdot (-\frac{1}{2})d(\frac{1}{x^2})[/m]
по формуле [m] ∫ cos u du=sinu+C[/m]
[m]=lim_{ ε → 0}(-\frac{1}{2})\cdot sin(\frac{1}{x^2})|_{ ε }^{\sqrt{\frac{2}{π}}}=(-\frac{1}{2})\cdot (sin \frac{π}{2}-lim_{ ε → 0 }sin \frac{1}{x^2})[/m]
Расходится так как
[m] lim_{ ε → 0}sin\frac{1}{x^2} [/m]
не существует