Задача 63371 Вычислить определенные интегралы....
Условие
Решение
так как [m]d(lnx)=(lnx)`dx=\frac{dx}{x}[/m]
[m]=∫ _{1}^{e}sin(lnx)d(lnx)=[/m]
применяем формулу
[r][m] ∫sin u du=-cosu+C[/m][/r]
[m]=-cos(lnx)|_{1}^{e}=-cos(lne)+cosln1=-cos1+cos0=[/m][b]1-cos1[/b]
2.
[m] ∫ _{0}^{\frac{π}{2}}\frac{dx}{1+a^2sin^2x}=∫ _{0}^{\frac{π}{2}}\frac{dx}{sin^2x+cos^2+a^2sin^2x}=∫ _{0}^{\frac{π}{2}}\frac{dx}{cos^2x(1+(1+a^2)tg^2x}=[/m]
так как [m]d(tgx)=(tgx)`dx=\frac{dx}{cos^x}[/m]
[m]=\frac{1}{1+a^2}\cdot ∫ _{0}^{\frac{π}{2}}\frac{d(tgx)}{\frac{1}{1+a^2}+(tgx)^2}=[/m]
применяем формулу
[r][m] ∫\frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}arctgu+C[/m][/r]
[m]=\frac{1}{1+a^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a+a^2}}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{\frac{1}{a+a^2}}}|_{0}^{\frac{π}{2}}=[/m]
[m]=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} (arctg(\sqrt{1+a^2}tgx))|_{0}^{\frac{π}{2}}=[/m]
[m]=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} (arctg(\sqrt{1+a^2}tg\frac{π}{2}))-\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} (arctg(\sqrt{1+a^2}tg0))=[/m]
так как [m]tg\frac{π}{2} → +∞ [/m]
[m]arctg(\sqrt{1+a^2}tg\frac{π}{2}) → \frac{π}{2}[/m]
[m]=\frac{π}{2\sqrt{1+a^2}}-0=\frac{π}{2\sqrt{1+a^2}}[/m]