Задача 63341 Найти предел функции х° — 10 26. а)и —...
Условие
х° — 10 26. а)и — — — ; 6 П}ЁЗ 6х? +10х + 5 ) т 2х° — 50 _ }_Ч} X2 =7x+10 B)' cos 3x —1 I') I}I}} 3xsin 2x _ Hl 1 lim — d x—2 Dx_z X —4D 
Решение
[m]\lim_{ x\to \infty }\frac{x^3-10}{6x^2+10x+5}=[/m]
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Выносим за скобки на x^2:
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2(x-\frac{10}{x^3})}{x^2(6+\frac{10x}{x^2}+\frac{5}{x}}=[/m]
сокращаем на [m]x^2[/m]
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{x-\frac{10}{x^3}}{6+\frac{10x}{x^2}+\frac{5}{x}}=\frac{ ∞-0}{6+0+0}= ∞ [/m]
При [m]x \to \infty[/m]
[m]\frac{10}{x^3}; \frac{10x}{x^2}; \frac{5}{x}[/m] - бесконечно малые функции
б)
[m]\lim_{x \to 5 }\frac{2x^2-50}{x^2-7x+10}=\frac{2\cdot5)^2-50}{5^2-7\cdot 5+20}=\frac{0}{0}[/m]
неопределенность.
Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:
[m]=\lim_{x \to 5 }\frac{2(x-5)(x+5)}{(x-5)(x-2)}=[/m]
сокращаем на [m](x-5)[/m]
[m]=\lim_{x \to 5 }\frac{2(x+5)}{x-2}=\frac{2\cdot (5+5)}{5-2}=\frac{20}{3}[/m]
г)
[m]lim_{x →2}(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x^2-4})= ∞- ∞ [/m](неопределенность)
Упрощаем выражение под знаком предела,приводим дроби к общему знаменателю :
[m]lim_{x →2}\frac{x+2-1}{x^2-4}= lim_{x →2}\frac{x+1}{x^2-4} = ∞ [/m]
в)
[m]lim_{x →0}\frac{cos3x-1}{3x\cdot sin2x}=[/m]
[m]1-cos α =2sin^2\frac{ α }{2}[/m]
⇒
[m]cos3x-1=-2sin^2\frac{3x}{2}[/m]
[m]lim_{x →0}\frac{-2sin^2\frac{3x}{2}}{3x\cdot sin2x}=-\frac{1}{3} lim_{x →0}\frac{sin^2\frac{3x}{2}}{x\cdot sin2x}=[/m]
Делим и умножаем на [m]\frac{3x}{2} [/m];еще раз на [m]\frac{3x}{2} [/m] и на на [m]2x [/m]
[m]=lim_{x →0}\frac{sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2} }\cdot \frac{sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2} }\cdot \frac{2x}{sin2x}\cdot \frac{\frac{3x}{2}\cdot\frac{3x}{2} }{x\cdot 2x} =-\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{\frac{9}{4}}{2}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{8}=- \frac{3}{8}[/m]
