Задача 63339 ...
Условие
Решение
выделим полный квадрат:
[m]x^2-2xcos α +cos^2 α-cos^2 α +1=(x^2-2xcos α +cos^2 α) +1-cos^2 α=(x-cos α)^2+sin^2 α [/m]
тогда
[m] ∫ \frac{1}{x^2-2xcos α+1}dx= ∫ \frac{1}{(x-cos α)^2+sin^2 α }dx=\frac{1}{sin α} \cdot arctg\frac{x-cos α }{sin α }+C[/m]
По формуле:
[r][m] ∫ \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\cdot arctg\frac{x}{a}+C[/m][/r]
[m]d(x-cos α )=(x-cos α )`dx=dx[/m] и [m]a^2=sin α [/m]
[m]= ∫ \frac{1}{(x-cos α)^2+sin^2 α }d(x-cos α) =\frac{1}{sin α} \cdot arctg\frac{x-cos α }{sin α }+C[/m]
Определенный интеграл
[m]∫_{-1}^{1} \frac{1}{x^2-2xcos α+1}dx=F(1)-F(-1)=[/m] считайте
если [m]F(x)=\frac{1}{sin α} \cdot arctg\frac{x-cos α }{sin α }[/m]