Задача 63312 ...

620f5c9582080f730b5e10f5

18.02.2022 11:46:07

4cos^2(x)-1=-√2*cos(π/2 + x)
Помогите❤️

5f3ea7e3faf909182968ddd9

18.02.2022 12:04:02

По формулам приведения:

[m]cos(\frac{π}{2}+x)=-sinx[/m]

По формуле:

[m]cos^2x=1-sin^2x[/m]


Уравнение можно записать в виде:

[m]4\cdot (1-sin^2x)-1=-\sqrt{2}\cdot (-sinx)[/m]

[m]4sin^2x+\sqrt{2}\cdot sinx-3=0[/m]

квадратное уравнение относительно [m]sinx[/m]

Замена переменной [m]sinx=t[/m]

[m]4t^2+\sqrt{2}\cdot t-3=0[/m]

[m]D=(\sqrt{2})^2-4\cdot 4\cdot (-3)=50[/m]

[m]\sqrt{D}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}[/m]


[m]t_{1,2}=\frac{-\sqrt{2}\pm5\sqrt{2}}{8}[/m]

[m]t_{1}=\frac{-\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{8}[/m] или [m]t_{2}=\frac{-\sqrt{2}+5\sqrt{2}}{8}[/m]

[m]t_{1}=\frac{-6\sqrt{2}}{8}[/m] или [m]t_{2}=\frac{4\sqrt{2}}{8}[/m]

[m]t_{1}=\frac{-3\sqrt{2}}{4}[/m] или [m]t_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]


Обратный переход к переменной х:

[m]sinx=\frac{-3\sqrt{2}}{4}[/m] или [m]sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]


Первое уравнение не имеет корней, так как синус ограничен: [m]-1 ≤ sinx ≤ 1[/m]

и никогда не принимает значения [m]\frac{-3\sqrt{2}}{4} ≈\frac{-3\cdot 1,4{4} < -1[/m]

[m]sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m] ⇒

Получаем две серии ответов (см. рис.):

[m] x=\frac{π}{4}+2πm, m ∈[/m] [b]Z[/b] или [m] x=\frac{3π}{4}+2πn, n ∈[/m] [b]Z [/b]


О т в е т.
[m] (-1)^{k}\frac{π}{4}+πk, k ∈[/m] [b]Z[/b]


или две серии ответов: [m]\frac{π}{4}+2πm, m ∈[/m] [b]Z[/b] ;[m]\frac{3π}{4}+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]