Задача 63303 Решить задачу 4 и 5...
Условие
Решение
Общее решение неоднородного уравнения у_(общее неод)=y_(общее одн.)+y_(част неод)
Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
y'' +5 y' =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+5k=0
k*(k+5)=0
k_(1)=0; k_(2)=-5- корни действительные различные
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее одн.)=С_(1)*e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)
Подставляем k_(1)=0; k_(2)=-5:
y_(общее одн.)=С_(1)*e^(0*x)+C_(2)*e^(-5*x)
[blue][b]y_(общее одн.)=С_(1)+C_(2)*e^(-5x)[/b][/blue]
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения
применяем метод неопределенных коэффициентов, так как правая часть уравнения имеет специальный вид.
Частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част неод)=A*e^(2x)
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част неод)=A*e^(2x)*(2x)`=2*A*e^(2x)
y``_(част неод)=(2*A*e^(2x))`=2*A*e^(2x)*(2x)`=4*A*e^(2x)
подставляем в данное уравнение:
4*A*e^(2x)+5*2*A*e^(2x)=52*e^(2x)
14A=52
и находим коэффициент:
A=26/7
О т в е т.
Общее решение :
у_(общ неод)=y_(общ одн.)+y_(част неод)=[blue][b]С_(1)+C_(2)*e^(-5x)[/b][/blue]+(26/7)*e^(2х)
5.
Находим предел общего члена ряда: [m]lim_{n → ∞ } a_{n} =lim_{n → ∞ }\frac{n}{3n-1}=\frac{1}{3} ≠0 [/m]
Не выполняется необходимое условие сходимости.
Данный ряд[i] расходится[/i]