Задача 63299 ...

620debc2a67e226c77a37ed4

17.02.2022 11:34:50

Найдите градиент функции z  f x, y в точке A.
Найдите производную функции z  f x, y в точке A по направлению вектора АВ . Z=2x^(2)+xy/ A(-1:2) B(2:6)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

17.02.2022 17:21:07

★

z=2x^2+xy
A(–1:2)
B(2:6)

Градиент:

[m]grad u=\frac{ ∂z }{ ∂x }\vec{i}+\frac{ ∂z }{ ∂y }\vec{j}[/m]

Градиент в точке:

[m]grad u|_{A}=\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{A}\vec{i}+\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{A}\vec{j}[/m]


Производная по направлению:

[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }=\frac{ ∂z }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }cos β [/m]

Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{A}=\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{A}cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{A}cos β [/m]


Находим координаты направляющего вектора: [m]\vec{AB}=(2-(-1);6-2)=(3;4)[/m]

[m]|\vec{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5[/m]

Направляющие косинусы:

[m]cos α =\frac{3}{5}[/m]; [m]cos β =\frac{4}{5}[/m];

Находим частные производные

[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(2x^2+xy)`_{x}=4x+y[/m]

[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=(2x^2+xy)`_{y}=x[/m]



Находим частные производные в точке:


[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }_{A}=4\cdot (-1)+2=-2[/m]


[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }_{A}=-1[/m]


Градиент в точке:

[m]grad u|_{A}=-2\vec{i}-\vec{j}[/m]


Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{A}=(-2)\cdot\frac{3}{5}+(-1)\cdot\frac{4}{5}[/m]