Задача 63288 вычислить определенный интеграл...
Условие
Решение
[m] ∫ _{0}^{1}\frac{du}{u+1}=[/m] так как [m]d(u+1)=(u+1)`du=du[/m]
табличный интеграл
[r][m] ∫ \frac{dx}{x}=ln|x|+C[/m][/r]
[m]=∫ _{0}^{1}\frac{d(u+1)}{u+1}=[/m]
[m]=(ln|u+1|)_{0}^{1}|=ln|1+1|-ln|0+1|=ln2-ln1=ln2[/m] так как [m]ln1=0[/m]
[m] ∫ _{0}^{\frac{π}{2}}sin4xdx=[/m]
так как [m]d(4x)=(4x)`dx=4dx[/m] ⇒ [m]dx=\frac{1}{4}d(4x)[/m]
табличный интеграл
[r][m] ∫sinxdx=-cosx+C[/m][/r]
[m]= ∫ _{0}^{\frac{π}{2}}sin4x\frac{1}{4}d(4x)=\frac{1}{4}(-cos4x)| _{0}^{\frac{π}{2}}=\frac{1}{4}(-cos(4\frac{π}{2}))-\frac{1}{4}(-cos(4\cdot 0))=-\frac{1}{4}cos2π+\frac{1}{4}cos0=-\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 1=0[/m]
[m] ∫ _{0}^{\frac{π}{3}}3 cos\frac{t}{3} dt=[/m]
так как [m]d(\frac{t}{3})=(\frac{t}{3})`dt=\frac{1}{3}dt[/m] ⇒ [m]dt=3d(\frac{t}{3})[/m]
табличный интеграл
[r][m] ∫cosxdx=sinx+C[/m][/r]
[m] =∫ _{0}^{\frac{π}{3}}3 cos\frac{t}{3}3d(\frac{t}{3})=9∫ _{0}^{\frac{π}{3}}d(\frac{t}{3})=9\cdot (sin\frac{t}{3}) _{0}^{\frac{π}{3}}=9\cdot sin\frac{π}{9}-3sin0=9\cdot sin\frac{π}{9}[/m]
Опечатка в условии. Может быть верхний предел [m] π [/m] или [m] \frac{ π}{2} [/m]
[m] ∫ _{0}^{\frac{π}{4}}\frac{4}{cos^2x}dx=4∫ _{0}^{\frac{π}{4}}\frac{1}{cos^2x}dx=[/m]
табличный интеграл
[m]∫\frac{1}{cos^2x}dx=tgx+C[/m]
[m]=4(tgx)| _{0}^{\frac{π}{4}}=4tg\frac{π}{4}-4tg0=4\cdot1-0=4[/m]
[m] ∫ _{0}^{2}\sqrt[3]{(x-2)^2}dx=[/m]
так как [m]d(x-2)=(x-2)`dt=dt[/m] ⇒ [m]dt=d(x-2)[/m]
табличный интеграл
[r][m] ∫x^{\frac{2}{3}}dx=\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+C[/m][/r]
[m] = ∫ _{0}^{2}(x-2)^{\frac{2}{3}}d(x-2)=(\frac{(x-2)^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1})| _{0}^{2}=\frac{(x-2)^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}+1})| _{0}^{2}=\frac{3}{5}\cdot ((2-2)^{\frac{5}{3}}-(0-2)^{\frac{5}{3}})=\frac{3}{5}\cdot( 0-\sqrt[3]{(-2)^5}=\frac{3}{5}\cdot \sqrt[3]{32}=\frac{3}{5}\cdot \sqrt[3]{8\cdot 4}=\frac{6}{5}\cdot \sqrt[3]{4} [/m]
[m] ∫ _{0}^{1}(2x^3+1)^4\cdot x^2dx=[/m]
так как [m]d(2x^3+1)=(2x^3+1)`dx=6x^2dx[/m] ⇒ [m]x^2dx=\frac{1}{6}d(2x^3+1)[/m]
табличный интеграл
[r][m] ∫x^{\frac{2}{3}}dx=\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+C[/m][/r]
[m] = ∫ _{0}^{1}(2x^3+1)^4\cdot \frac{1}{6}d(2x^3+1)=\frac{1}{6}∫ _{0}^{1}(2x^3+1)^4d(2x^3+1)=(\frac{1}{6}\cdot \frac{(2x^3+1)^5}{5})|_{0}^{1}=\frac{1}{30}\cdot (2+1)^5-1^5)=\frac{242}{30}=\frac{121}{15}[/m]