Задача 63260 ...
Условие
y ≥ |5x + 2| + |5x - 3|
Заранее спасибо
Решение
Границей области является
y = |5x + 2| + |5x – 3|
Раскрываем знаки модулей
Поступаем так же как при решении уравнений методом интервалов
подмодульные выражения обращаются в нуль в точках
5x+2=0 ⇒ x=-2/5. Это значит, что при переходе через точку x=-2/5 выражение (5x+2) меняет знак с - на +
5x-3=0 ⇒ x=3/5/ Это значит, что при переходе через точку x=3/5 выражение (5x-3) меняет знак с - на +
Поэтому
на (- ∞ ; -2/5)
|5x+2|=-(5x+2)
на (-2,5;+ ∞ )
|5x+2|=+(5x+2)
на (- ∞ ; 3/5)
|5x-3|=-(5x-3)
на (3,5;+ ∞ )
|5x-3|=+(5x-3)
____________ (-2/5) _________ (3/5) ____________
Получили три интервала
Раскрываем знаки сразу обоих модулей
На (- ∞; -2/5) оба подмодульных выражения ОТРИЦАТЕЛЬНЫ
y =-(5x + 2) +(-(5x – 3))
[b]y=-10x+1[/b]
На ( -2/5; (3/5) первое подмодульное выражение ПОЛОЖИТЕЛЬНО, второе ОТРИЦАТЕЛЬНО
y =(5x + 2) +(-(5x – 3))
[b]y=5[/b]
На (3,5;+ ∞ ) оба подмодульных выражения ПОЛОЖИТЕЛЬНЫ
y =(5x + 2) +(5x – 3)
[b]y=10x-1[/b]
Cами точки можно отнести к любому краю интервала, обычно к правому
Строим график функции
[m]y=\left\{\begin {matrix}]-10x+1, x ≥-\frac{2}{5} \\5, -\frac{2}{5} x ≤ \frac{3}{5} \\10x-1, x > \frac{3}{5}\end {matrix}\right.[/m]
cм. рис.1
Неравенству удовлетворяет область, расположенная внутри
( cм. рис.2)
Наименьшее значение y=5
Функция принимает это значение на отрезке [-2/5; 3/5]
Значит, наименьшее х=-2/5
Их сумма и будет наименьшим значением х+у
