Задача 63256 а) решите уровнение...

61d9de1eacffe413ad532e0b

19.02.2022 12:58:50

а) решите уровнение 6cos^(2)x-5sinx-2=0
б)найдите все корни этого уровнения , пренадлежащие отрезку [-7П/2;-5П/2]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.02.2022 15:43:06

★

Так как
[m]cos^2x=1-sin^2x[/m]
то
[m]6(1-sin^2x)-5sinx-2=0[/m]

[m]6sin^2x+5sinx-4=0 [/m] - квадратное уравнение относительно [m]sinx[/m]


Обозначим [m]sinx=t[/m]

[m]6t^2+5t-4=0 [/m]

D=5^2-4*6*(-4)=25+96=121

[m]t_{1}=\frac{-5-11}{12}[/m] или [m]t_{2}=\frac{-5+11}{12}[/m]

[m]t_{1}=-\frac{4}{3}[/m] или [m]t_{2}=\frac{1}{2}[/m]


Обратный переход к переменной х:

[m]sinx=-\frac{4}{3}[/m] или [m]sinx=\frac{1}{2}[/m]



Первое уравнение [m]sinx=-\frac{4}{3}[/m] не имеет корней, так как синус ограничен: [m]-1 ≤ sinx ≤ 1[/m]

и не принимает значения [m]-\frac{4}{3}< -1[/m]


[m]sinx=\frac{1}{2}[/m] - простейшее уравнение вида [m]sinx=a[/m] , |a| ≤ 1

Решаем по формуле: [m]x=(-1)^{k} arcsina+πk, k ∈ [/m][b]Z[/b]


[m]x=(-1)^{k} arcsin\frac{1}{2}+πk, k ∈ [/m][b]Z[/b]


[red][m]x=(-1)^{k}\frac{π}{6}+πk, k ∈ [/m][b]Z[/b][/red]


При четных k получаем:

при k=2n [m]x=\frac{π}{6}+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]

При нечетных k получаем
при k=2m+1 [m]x=-\frac{π}{6}+π(2m+1)=\frac{5π}{6}+2πm, m ∈ [/m][b]Z[/b]