Задача 63246 Найти неопределенные интегралы,...
Условие
Решение
[m] ∫ (5x^2-3)^7dx=[/m] непосредственное интегрирование.
Возводим в 7-ю степень по формуле бинома [r] (a+b)^(7)[/r] ( см. скрин 1)
(5x^2-7)^7=78125x^(14)-328125x^(12)+590625x^(10)-590625x^(8)+354375x^6-127575x^4+25515x^2-2187
[m] =∫ (78125x^{14}-328125x^{12}+590625x^{10}-590625x^{8}+354375x^6-127575x^4+25515x^2-2187 )dx=[/m]
применяем формулу [r][m] ∫ x^{ α }dx=\frac{x^{ α +1}}{ α +1}+C[/m][/r]
[m]=78125\cdot \frac{x^{15}}{15}-328125\cdot \frac{x^{13}}{13}+590625\cdot \frac{x^{11}}{11}-590625\cdot \frac{x^{9}}{9}+354375\cdot \frac{x^{7}}{7}-127575\cdot \frac{x^{5}}{5}+\cdot \frac{x^{3}}{3}-2187x+C[/m]
2.
[m] ∫ x^2\sqrt{x^3+1}dx=[/m] применяем правило интегрирования сложной функции
[m]u=x^3+1[/m]
[m]du=(x^3+1)`dx[/m] ⇒[m] du=3x^2dx[/m] ⇒ [m]x^2dx=\frac{1}{3}du[/m]
[m] ∫ x^2\sqrt{x^3+1}dx= ∫ \sqrt{u}\frac{1}{3}du=\frac{1}{3} ∫ \sqrt{u}du[/m]
применяем формулу [r][m] ∫ x^{ α }dx=\frac{x^{ α +1}}{ α +1}+C[/m][/r]
[m]=\frac{1}{3} \frac{x^{ \frac{1}{2} +1}}{ \frac{1}{2} +1}+C=\frac{1}{3} \frac{x^{ \frac{3}{2} }}{ \frac{3}{2} }+C=\frac{2}{9}\sqrt{u^2}+C[/m]
[m]=\frac{2}{9}\sqrt{(x^3+1)^2}+C[/m]
3.
[m] ∫ \frac{dx}{cos^23x}=[/m]
табличный интеграл :[r][m] ∫\frac{1}{cos^2x} dx=tgx+C[/m][/r]
применяем правило интегрирования сложной функции
[m]u=3x[/m]
[m]du=(3x)`dx[/m] ⇒[m] du=3dx[/m] ⇒ [m]dx=\frac{1}{3}du[/m]
[m]∫ \frac{dx}{cos^23x}=∫ \frac{\frac{1}{3}du}{cos^2u}=\frac{1}{3} ∫ \frac{du}{cos^2u}=\frac{1}{3} tgu+C=\frac{1}{3} tg3x+C [/m][/m]
Так как 2) и 3 ) примеры имеют несложные вычисления. Думаю, что в первом примере опечатка:
[m] ∫ (5x^7-3)^2dx=[/m]
Тогда решение будет выглядеть значительно проще.
Если хотите получить подробные решения остальных интегралов.
Разместите оставшиеся так, что каждый интеграл был в одном вопросе...
=============================================
Cкрины.
Скриншот 1
