Задача 63240 Используя определение, доказать, что...
Условие
Решение
[m]lim_{n →∞ }\frac{1}{2^{n}}=0[/m]
Рассматриваем разность
[m]|\frac{1}{2^{n}}-0|=|\frac{1}{2^{n}}|=\frac{1}{2^{n}}[/m]
Решаем неравенство:
[red][m]\frac{1}{2^{n}}[/m] < ε;[/red]
[m]2^{n}>\frac{1}{ ε }[/m]
[m] n>log_{2}\frac{1}{ ε }[/m]
Поэтому достаточно взять номер n_( ε )=[[m] log_{2}\frac{1}{ ε }[/m]]+1
(Целой части числа [m] log_{2}\frac{1}{ ε }[/m] и с запасом +1)
А дальше все как обычно:
для любого ε > 0 найдется номер n_( ε )=[[m] log_{2}\frac{1}{ ε }[/m]]+1
такой, что для всех номеров
n > n_( ε )
выполняется неравенство
[m]|\frac{1}{2^{n}}-0|[/m] <[red] ε [/red]
Что и означает, что [m]lim_{n →∞ }\frac{1}{2^{n}}=0[/m]
24.
[m]lim_{n →∞ }a_{n}=lim_{n →∞ }\frac{1}{n^{3}+1}=0[/m]
Рассматриваем разность
[m]|a_{n}-0|=\frac{1}{n^{3}+1}-0|=|\frac{1}{n^{3}+1}|=\frac{1}{n^{3}+1}[/m]
Решаем неравенство:
[red][m] \frac{1}{n^{3}+1}[/m] < ε [/red]
[m]n^3+1>\frac{1}{ ε }[/m]
[m] n>\frac{1}{ ε }-1[/m]
Поэтому достаточно взять номер n_( ε )=[[m]\frac{1}{ ε }-1 [/m]]+1
(Целой части числа [m]\frac{1}{ ε }-1[/m] и с запасом +1)
А дальше все как обычно:
для любого ε > 0 найдется номер n_( ε )=[[m]\frac{1}{ ε }-1 [/m]]+1
такой, что для всех номеров
n > n_( ε )
выполняется неравенство :
[m]|a_{n}-0|=|\frac{1}{n^{3}+1}-0|[/m] <[red] ε [/red]
Что и означает, что [m]lim_{n →∞ }\frac{1}{n^{3}+1}=0[/m]
a)
ε =0,1
n_( ε )=[[m]\frac{1}{ 0,1 }-1 [/m]]+1=[9]+1=10
Начиная с 11 номера все члены последовательности находятся в ε - окрестности нуля
(-0,1;0,1)
б)
ε =0,01
n_( ε )=[[m]\frac{1}{ 0,01 }-1 [/m]]+1=[99]+1=100
Начиная с 101 номера все члены последовательности находятся в ε - окрестности нуля
(-0,01; 0,01)
(-0,001; 0,001)
в)
ε =0,001
n_( ε )=[[m]\frac{1}{ 0,001 }-1 [/m]]+1=[999]+1=1000
Начиная с 1001 номера все члены последовательности находятся в ε - окрестности нуля
(-0,001; 0,001)