Задача 63231 Срочнo нужно решить!! ...
Условие
Решение
[m]x_{n}=\frac{18^{n}}{n!}[/m]
Рассмотрим последовательность:
[m]\frac{2^{n}}{n!}[/m]
см скрин ( доказательство по определению, что [m]lim_{n → ∞}\frac{2^{n}}{n!}=0[/m])
Осталось сравнить данную последовательность с этой последовательностью
2)
-1 ≤ cos9n ≤ 1
⇒
[m]\frac{9n-1}{18n+\sqrt[3]{n}} ≤ y_{n} ≤ \frac{9n+1}{18n+\sqrt[3]{n}}[/m]
Так как пределы последовательностей, ограничивающих [m]y_{n}[/m] слева и справа равны и
[m]lim_{n → ∞} \frac{9n-1}{18n+\sqrt[3]{n}} = lim_{n → ∞}\frac{9n+1}{18n+\sqrt[3]{n}}=\frac{9}{18}=0,5[/m]
по теореме ("о двух милиционерах"):
[m]lim_{n → ∞} y_{n}=0,5[/m]
3)
0≤ сos^29n ≤ 1
⇒
[m]\frac{9n}{18n+\sqrt[3]{n}} ≤ z_{n} ≤ \frac{9n+1}{18n+\sqrt[3]{n}}[/m]
Так как [m]lim_{n → ∞} \frac{9n}{18n+\sqrt[3]{n}}= lim_{n → ∞}\frac{9n+1}{18n+\sqrt[3]{n}}=0,5[/m]
[m]lim_{n → ∞} z_{n}=0,5[/m]