Задача 63228 Решите 3 примера ...
Условие
Решение
Применяем основное логарифмическое тождество:
[m]sinx=e^{ln sinx}[/m]
получаем
[m]=lim_{x →0}( e^{ln sinx})^x=[/m]
по свойству степеней:
[m]=lim_{x →0}e^{x\cdot ln sinx}=[/m]
так как показательная функция непрерывна, можно менять местами знак предела и знак показательной функции, т.е
[m]=lim_{x →0} e^{ lim_{x →0} x\cdot ln sinx}=[/m]
Считаем предел показателя степени:
[m] lim_{x →0} x\cdot ln sinx=[/m] неопределенность 0* ∞ сводится к неопределенности 0/0 или ∞ / ∞
Для этого произведение записываем в виде:
[m]= lim_{x →0}\frac{ln sinx}{\frac{1}{x}}=[/m]
Применяем правило Лопиталя:
[m]= lim_{x →0}\frac{(ln sinx)`}{(\frac{1}{x})}= lim_{x →0}\frac{\frac{1}{sinx}\cdot (sinx)`}{-\frac{1}{x^2}}=[/m]
[m]=- lim_{x →0}\frac{x^2\cdot cosx}{sinx}=- lim_{x →0}\frac{x}{sinx}\cdot lim_{x →0}(x\cdot cosx)=-1\cdot 0\cdot 1=0 [/m]
О т в е т. [m]lim_{x →0} sinx^{x}=lim_{x →0} e^{ lim_{x →0} x\cdot ln sinx}=e^{0}=1[/m]