Задача 63197 Найти общее решение дифференциального...
Условие
Решение
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами:
y```+3y``+2y`=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^3+3k^2+2k=0
k*(k^2+3k+2)=0
D=3^2-4*2=1
k_(1)=0; k_(2)=-2; k_(3)=-1 - корни действительные различные,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x)+C_(3)e^(k_(3)x) - общее решение однородного уравнения
Подставляем k_(1)=0; k_(2)=-2; k_(3)=-1
y_(общее одн)=C_(1)e^(0*x)+C_(2)e^(-2x)+C_(3)e^(-x) - общее решение данного однородного уравнения
[b]y_(общее одн)=C_(1)+C_(2)e^(-2x)+C_(3)e^(-x)[/b]
Правая часть неоднородного уравнения имеет ''[i]специальный[/i]'' вид, поэтому частное решение имеет вид:
y_(частное неодн)=x*(Аx^2+Bx+D) ⇒ y_(частное неодн)=Аx^3+Bx^2+Dx
y`_(частное неодн) =3Ax^2+2Bx+D
y``_(частное неодн)=6Ax+2B
y```_(частное неодн)=6A
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
y```+3y``+2y`=x^2+2x+3
6A+3*(6Ax+2B)+2*(3Ax^2+2Bx+D)=x^2+2x+3
6Ax^2+(18A+4B)x+(6A+2D)=x^2+2x+3
6A=1 ⇒ A=1/6
18A+4B=2 ⇒ B=-1/4
6A+2D=3 ⇒ D=1
[b]y_(частное неодн)=(1/6)x^3-(1/4)x^2+x [/b]
y_(общее неодн)=y_(общее одн)+y_(частное неодн)=
=C_(1)+C_(2)e^(-2x)+C_(3)e^(-x)+(1/6)x^3-(1/4)x^2+x