Задача 63196 найти решение задачи Коши...

6193afee7c282c3a2a3c7b9f

14.02.2022 09:55:35

найти решение задачи Коши

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14.02.2022 14:13:34

★

Линейное уравнение первого порядка вида [m]y`+p(x)y=q(x)[/m]

[m]p(x)=-cosx[/m]

[m]q(x)=-sin2x[/m]


Решаем методом Бернулли

y=u*v

y`=u`*v+u*v`


u`*v+u*v`-(cosx)*u*v=-sin2x

u`*v+u*(v`-v*cosx)=-sin2x


1)
v`-cosx*v=0
dv/v=cosxdx

∫ dv/v=∫ cosxdx

ln|v|=sinx

v=e^{sinx}


2)
u`*v=-sin2x

u`*e^(sinx)=-sin2x

u`=e^(-sinx) *(-sin2x)

u= ∫ e^(-sinx)* (-sin2x)dx


sin2x=2sinxcosx


u= -2∫sinx *cosx* e^(-sinx) dx

Замена

sinx=t

dt=cosxdx

u=-2 ∫ te^(-t)dt=

интегрирование по частям:

=-2(-te^(-t)+ ∫ e^(-t)dt)= 2te^(t)+2e^(t)=(2sinx+2)e^(-sinx)+C


y=u*v=((2sinx+2)e^(-sinx)+C)*e^(sinx)


y=2sinx+2+Ce^(-sinx) - общее решение

у(0)=3

3=2*sin0+2+Ce^(-sin0)

3=2+C

C=1

y=2sinx+2+e^(-sinx) - частное решение