Задача 63140 & Л < L e ) — S <- ! =1 ее ‘ „— —^ o v )...

61ffcd68e4c28a593a5e2c9d

11.02.2022 13:48:05

& Л < L e ) — S <- ! =1 ее ‘ „— —^ o v ) 3 = i g ё 1 Е L ‘^ ° 9 <За ) { e | g ] › 1 ' 2 | T2 . —) ь T Y=y Al

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11.02.2022 21:16:22

★

Применяем формулу [m]cos α -cos β =-2sin\frac{ α+ β }{2}\cdot sin\frac{ α- β }{2}[/m]


[m]cos (5-\frac{1}{n}) -cos 5 =-2\cdot sin\frac{ 5-\frac{1}{n}+5 }{2}\cdot sin\frac{5-\frac{1}{n}-3 }{2}=2\cdot sin(5+\frac{1}{2n})\cdot sin(-\frac{1}{2n})[/m]

Так как синус - нечётная функция, то [m]sin(-\frac{1}{2n})=-sin\frac{1}{2n}[/m]


Тогда

[m]lim_{n → ∞ }n(cos (5-\frac{1}{n}) -cos 5)=lim_{n → ∞ }n\cdot 2\cdot sin (5+\frac{1}{2n})\cdot (- sin\frac{1}{2n})= [/m]


[m]=-\underbrace{lim_{n → ∞ }\frac{sin\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}}_{первый... замечат... предел}\cdot lim_{n → ∞ }sin (5+\frac{1}{2n})=-1\cdot sin ( lim_{n → ∞ }(5+\frac{1}{2n}))=-1\cdot sin5[/m]- это ответ

Последовательность задана рекуррентной формулой

[m]x_{n+1} =\sqrt{5+x_{n}}[/m], [m]x_{1}=5[/m]


Пусть [m] lim_{n → ∞ } x_{n}=a[/m]

Тогда [m] lim_{n → ∞ } x_{n+1}=a[/m]


[m] lim_{n → ∞ } x_{n+1}= lim_{n → ∞ }\sqrt{5+x_{n}}[/m]

[m]a=\sqrt{5+a}[/m]

Решаем иррациональное уравнение:

[m]a^2=5+a[/m]

[m]a^2-a-5=0[/m]

D=1+20=21

[m]a=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}[/m]

По определению арифметического квадратного корня:

[m]x_{n+1} ≥ 0[/m] ⇒ [m] lim_{n → ∞ } x_{n+1} ≥0[/m]

[m]a=\frac{1-\sqrt{21}}{2}<0[/m] не может быть пределом [m]x_{n+1} ≥ 0[/m]

О т в е т. [m] lim_{n → ∞ } x_{n}=\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/m]