Задача 63137 решить предел...

6197b89ccb163565984669c9

11.02.2022 12:41:55

решить предел

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11.02.2022 17:39:26

★

Применяем формулу [m]cos α -cos β =-2sin\frac{ α+ β }{2}\cdot sin\frac{ α- β }{2}[/m]


[m]cos (5-\frac{1}{n}) -cos 5 =-2\cdot sin\frac{ 5-\frac{1}{n}+5 }{2}\cdot sin\frac{5-\frac{1}{n}-3 }{2}=2\cdot sin(5+\frac{1}{2n})\cdot sin(-\frac{1}{2n})[/m]

Так как синус - нечётная функция, то [m]sin(-\frac{1}{2n})=-sin\frac{1}{2n}[/m]


Тогда

[m]lim_{n → ∞ }n(cos (5-\frac{1}{n}) -cos 5)=lim_{n → ∞ }n\cdot 2\cdot sin (5+\frac{1}{2n})\cdot (- sin\frac{1}{2n})= [/m]


[m]=-\underbrace{lim_{n → ∞ }\frac{sin\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}}_{первый... замечат... предел}\cdot lim_{n → ∞ }sin (5+\frac{1}{2n})=-1\cdot sin ( lim_{n → ∞ }(5+\frac{1}{2n}))=-1\cdot sin5[/m]- это ответ