Задача 63136 решить предел...
Условие
математика ВУЗ
115
Решение
★
[m]x_{n+1} =\sqrt{5+x_{n}}[/m], [m]x_{1}=5[/m]
Пусть [m] lim_{n → ∞ } x_{n}=a[/m]
Тогда [m] lim_{n → ∞ } x_{n+1}=a[/m]
[m] lim_{n → ∞ } x_{n+1}= lim_{n → ∞ }\sqrt{5+x_{n}}[/m]
[m]a=\sqrt{5+a}[/m]
Решаем иррациональное уравнение:
[m]a^2=5+a[/m]
[m]a^2-a-5=0[/m]
D=1+20=21
[m]a=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}[/m]
По определению арифметического квадратного корня:
[m]x_{n+1} ≥ 0[/m] ⇒ [m] lim_{n → ∞ } x_{n+1} ≥0[/m]
[m]a=\frac{1-\sqrt{21}}{2}<0[/m] не может быть пределом [m]x_{n+1} ≥ 0[/m]
О т в е т. [m] lim_{n → ∞ } x_{n}=\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/m]