Задача 63127 СРОЧНO!! Пределы...
Условие
Пределы
Решение
[m]sin (3-\frac{1}{n}) -sin 3 =2\cdot sin\frac{ 3-\frac{1}{n}- 3 }{2}\cdot cos\frac{3-\frac{1}{n}+3 }{2}=2\cdot sin(-\frac{1}{2n})cos(3-\frac{1}{2n})[/m]
Так как синус - нечётная функция, то [m]sin(-\frac{1}{2n})=-sin\frac{1}{2n}[/m]
Тогда
[m]lim_{n → ∞ }n(sin(3-\frac{1}{n}) -sin 3)=lim_{n → ∞ }n\cdot 2\cdot(- sin\frac{1}{2n})\cdot cos (3-\frac{1}{2n})= [/m]
[m]=-\underbrace{lim_{n → ∞ }\frac{sin\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}}_{первый... замечат... предел}\cdot lim_{n → ∞ }cos (3-\frac{1}{2n})=-1\cdot cos lim_{n → ∞ }(3-\frac{1}{2n})=-1\cdot cos3[/m]- это ответ
2.
Последовательность задана рекуррентной формулой
Пусть [m] lim_{n → ∞ } x_{n}=a[/m]
Тогда [m] lim_{n → ∞ } x_{n+1}=a[/m]
[m] lim_{n → ∞ } x_{n+1}= lim_{n → ∞ }\sqrt{3+x_{n}}[/m]
[m]a=\sqrt{3+a}[/m]
Решаем иррациональное уравнение:
[m]a^2=3+a[/m]
[m]a^2-a-3=0[/m]
D=1+12=13
[m]a=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}[/m]
По определению арифметического квадратного корня:
[m]x_{n+1} ≥ 0[/m] ⇒ [m] lim_{n → ∞ } x_{n+1} ≥0[/m]
[m]a=\frac{1-\sqrt{13}}{2}<0[/m] не может быть пределом [m]x_{n+1} ≥ 0[/m]
О т в е т. [m] lim_{n → ∞ } x_{n}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}[/m]