Задача 63032 Нужно решить ...
Условие
Решение
a)
Применяем формулу:
[m]a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)[/m]
для разности
[m]a-b=(\sqrt[5]{a}-\sqrt[5]{b}) (\sqrt[5]{a^4}+\sqrt[5]{a^3}\cdot \sqrt[5]{b}+\sqrt[5]{a^2}\cdot \sqrt[5]{b^2}+\sqrt[5]{a}\cdot \sqrt[5]{b^3}+\sqrt[5]{b^4})[/m]
Переводим иррациональность из числителя в знаменатель:
Умножаем и делим на: [m]\sqrt[5]{(n+5)^4}+\sqrt[5]{(n+5)^3}\cdot \sqrt[5]{n}+\sqrt[5]{(n+5)^2}\cdot \sqrt[5]{n^2}+\sqrt[5]{(n+5)}\cdot \sqrt[5]{n^3}+\sqrt[5]{n^4}[/m]
получим
[m]=lim_{n → ∞ }\frac{(n+5)-n}{\sqrt[5]{(n+5)^4}+\sqrt[5]{(n+5)^3}\cdot \sqrt[5]{n}+\sqrt[5]{(n+5)^2}\cdot \sqrt[5]{n^2}+\sqrt[5]{(n+5)}\cdot \sqrt[5]{n^3}+\sqrt[5]{n^4}}\cdot n^{\frac{4}{5}}=\frac{5}{1+1+1+1+1}=1[/m]
b)
[m]lim_{n → ∞ }(1+(\frac{-3}{n}))^{n}=[/m]
Применяем предел числовой последовательности [m]x_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n} [/m] см. скрин.
Тогда
[m]lim_{n → ∞ }(1+\frac{1}{(-\frac{n}{3})})^{(-\frac{n}{3})}=e[/m]
[m]lim_{n → ∞ }(1+(\frac{-3}{n}))^{n}=lim_{n → ∞ }(1+\frac{1}{(-\frac{n}{3})})^{(-\frac{n}{3})})^{-3}=e^{-3}[/m]- это ответ
c)
[m](\frac{n+(-3)}{n})^7=(\frac{n}{n}+\frac{(-3)}{n})^7=(1+\frac{(-3)}{n})^7=[/m]
по формуле бинома:
[m](1+x)^7=1+7x+21x^2+35x^3+35x^4+21x^5+7x^6+x^7[/m]
[m](\frac{n+(-3)}{n})^7-1=[/m]
[m]=(1+\frac{(-3)}{n})^7-1=1+7\cdot\frac{(-3)}{n}+21\cdot (\frac{(-3)}{n})^2+35\cdot (\frac{(-3)}{n})^3+35\cdot (\frac{(-3)}{n})^4+21\cdot (\frac{(-3)}{n})^5+7\cdot (\frac{(-3)}{n})^6+ (\frac{(-3)}{n})^7-1 [/m]
Тогда
[m]lim_{n → ∞ } n\cdot ((\frac{n+(-3)}{n})^7-1)=[/m]
[m]=lim_{n → ∞ } n\cdot (7\cdot\frac{(-3)}{n}+21\cdot (\frac{(-3)}{n})^2+35\cdot (\frac{(-3)}{n})^3+35\cdot (\frac{(-3)}{n})^4+21\cdot (\frac{(-3)}{n})^5+7\cdot (\frac{(-3)}{n})^6+ (\frac{(-3)}{n})^7)=[/m]
=7+0+0+0+0+0+0=7[/m]
d)
Последовательность задана рекуррентной формулой
[m]x_{n+1} =\sqrt{5+x_{n}}[/m], [m]x_{1}=5[/m]
Пусть [m] lim_{n → ∞ } x_{n}=a[/m]
Тогда [m] lim_{n → ∞ } x_{n+1}=a[/m]
[m] lim_{n → ∞ } x_{n+1}= lim_{n → ∞ }\sqrt{5+x_{n}}[/m]
[m]a=\sqrt{5+a}[/m]
Решаем иррациональное уравнение:
[m]a^2=5+a[/m]
[m]a^2-a-5=0[/m]
D=1+20=21
[m]a=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}[/m]
По определению арифметического квадратного корня:
[m]x_{n+1} ≥ 0[/m] ⇒ [m] lim_{n → ∞ } x_{n+1} ≥0[/m]
[m]a=\frac{1-\sqrt{21}}{2}<0[/m] не может быть пределом [m]x_{n+1} ≥ 0[/m]
О т в е т. [m] lim_{n → ∞ } x_{n}=\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/m]
e)
Применяем формулу [m]cos α -cos β =-2sin\frac{ α+ β }{2}\cdot sin\frac{ α- β }{2}[/m]
[m]cos (5-\frac{1}{n}) -cos 5 =-2\cdot sin\frac{ 5-\frac{1}{n}+5 }{2}\cdot sin\frac{5-\frac{1}{n}-3 }{2}=2\cdot sin(5+\frac{1}{2n})\cdot sin(-\frac{1}{2n})[/m]
Так как синус - нечётная функция, то [m]sin(-\frac{1}{2n})=-sin\frac{1}{2n}[/m]
Тогда
[m]lim_{n → ∞ }n(cos (5-\frac{1}{n}) -cos 5)=lim_{n → ∞ }n\cdot 2\cdot sin (5+\frac{1}{2n})\cdot (- sin\frac{1}{2n})= [/m]
[m]=-\underbrace{lim_{n → ∞ }\frac{sin\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}}_{первый... замечат... предел}\cdot lim_{n → ∞ }sin (5+\frac{1}{2n})=-1\cdot sin ( lim_{n → ∞ }(5+\frac{1}{2n}))=-1\cdot sin5[/m]- это ответ