Задача 62910 . Вычислите неопределенные интегралы:...
Условие
Вычислите неопределенные интегралы:
Решение
[m] ∫ (7\sqrt{x^5}-2\sqrt[4]{x^3}+5\sqrt{x}-3)dx=[/m]
интеграл от суммы ( разности) равен сумме разности интегралов
[m]=∫ 7\sqrt{x^5}dx - ∫ 2\sqrt[4]{x^3}dx+ ∫ 5\sqrt{x}dx- ∫ 3dx=[/m]
постоянный множитель можно внести за знак интеграла
[m]=7 ∫ x^{\frac{5}{2}}dx - 2 ∫ x^{\frac{3}{4}}dx+5 ∫ x^{\frac{1}{2}}dx-3 ∫ dx[/m]
применяем формулу интеграла от степенной функции ( cм. скрин)
[m]=7\cdot \frac{x^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1}-2\cdot \frac{x^{\frac{3}{4}+1}}{\frac{3}{4}+1}+5\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-3x+C=[/m]
[m]2\sqrt{x^7}-\frac{8}{7}\sqrt[4]{x^7}+\frac{10}{3}\sqrt{x^3}-3x+C[/m]
б)
Замена переменной
[m]cosx+2=u[/m] ⇒ [m](cosx+2)`dx=du[/m]
[m]-sinxdx=du[/m]
⇒
[m]sinxdx=-du[/m]
тогда
[m] ∫ \frac{2sinxdx}{\sqrt{cosx+2}}= ∫ \frac{2(-du)}{\sqrt{u}}=-2 ∫ \frac{du}{\sqrt{u}}=[/m]
табличный интеграл (см. скрин 2)
[m]=-2\cdot 2\sqrt{u}+C[/m]
[m]=-4sqrt{cosx+2}+C[/m]
