Задача 6291 На прямой, содержащей биссектрису AD...
Условие
Все решения
1) Чтобы найти площадь, нужно найти стороны, чтобы через формулу S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p - полупериметр, a,b,c - стороны
2) Чтобы найти стороны, опустим перпендикуляры EH и EK на стороны AC и AB соответственно. Теперь через прямоугольные треугольники, sin(x), cos(x), tg(x) сможем найти стороны
Решение:
1) Через теорему Пифагора найдем AB = sqrt(BC^2 + AC^2 ) =sqrt( 25 + 144) = 13
2) Прибегнем немного к тригонометрии, чтобы найти EH через sin(x). На рисунке угол альфа, а в решение укажу через x.
Ищем по формулам sin(x), cos(x) tg(x) чтобы мы могли с ними работать в маленьких треугольничках, таких как ΔAEH и ΔAEK, но о самих треугольниках чуть позже
по формуле: tg^2(x) = (1-cos(2x))/(1+cos(2x))
cos(2x) = AC/BA = 12/13
Получает, что tg^2(x) = (1/13) / (25/13) = 1/25, тогда [b]tg(x) = 1/5[/b]
Но [b]tg(x) = sin(x)/cos(x)[/b]
Но как же теперь найти cos(x)? А очень просто, достаточно вспомнить, что
cos^2(x) = 2*cos^2(x) - 1, отсюда [b]cos(x) = sqrt((cos(2x) + 1)/2)[/b]
cos(x) = 5 / sqrt(26)
Значит [b]sin(x)[/b] = tg(x) * cos(x) = 1/5 * 5/sqrt(26) = [b]1/sqrt(26)[/b]
3) Поздравляю, вот мы и разобрались с самым сложным, осталось лишь простая геометрия. Рассмотрим ΔAEH
sin(x) = EH/AE ⇒ EH = sin(x) * AE = 1/sqrt(26) * sqrt(26) = 1
4) Через теорему Пифагора ΔAEH, AH = sqrt(AE^2 - EH^2) = 5
Значит CH = AC - HA = 12 - 5 = 7, то CE = sqrt(1 + 49) = sqrt(50)
Вот и нашли одну сторону
5) т.к. AE - биссектриса, то EH = EK = 1
Аналогично находим BE = sqrt(65)
6) Подставляя в формулу площади получем S ≈ 219.18
* там из-за корней не складываются 3 слагаемых в одно число, и соответственно сложно считать в ручную, я просто забил это все в калькулятор и получил ответ, но ответ не главное, ведь могут быть ровные числа и важен метод решения, который мы разобрали выше. Если дочитал до конца, то знай, что ты молодчинка! Я горжусь тобой :D