Задача 62909 Вычислите производные функций, подробно...
Условие
Решение
[m] y=\frac{4}{x^5}-\frac{sinx}{x}+\sqrt[5]{x^2}-7x^3[/m]
[m]y`=(\frac{4}{x^5}-\frac{sinx}{x}+\sqrt[5]{x^2}-7x^3)`[/m]
производная суммы ( разности) равна сумме (разности) производных
[m]y`=(\frac{4}{x^5})`-(\frac{sinx}{x})`+(\sqrt[5]{x^2})`-(7x^3)`[/m]
постоянный множитель можно выносить за знак производной:
[m]y`=4(\frac{1}{x^5})`-(\frac{sinx}{x})`+(\sqrt[5]{x^2})`-7(x^3)`[/m]
применяем свойства степени и правило вычисления производной дроби для второго слагаемого::
[m]y`=4(x^{-5})`-\frac{(sinx)`\cdot x-sinx\cdot (x)`}{x^2}+(x^{\frac{2}{5}})`-7(x^3)`=[/m]
применяем формулы ( см таблицу производных):
[m]y`=4\cdot (-5)\cdot x^{-5-1}-\frac{(cosx)\cdot (x)-sinx\cdot 1}{x^2}+\frac{2}{5}\cdot (x^{\frac{2}{5}-1})-7\cdot 3x^2=[/m]
[m]y`=-20\cdot x^{-6}-\frac{xcosx-sinx}{x^2}+\frac{2}{5}\cdot (x^{-\frac{3}{5}})-21x^2[/m]
[m]y`=-20\frac{1}{x^6}-\frac{xcosx-sinx}{x^2}+\frac{2}{5\cdot \sqrt[5]{x^3}}-21x^2[/m] - о т в е т
б)
[m]y=log_{3}(x+5)\cdot arccos 3x[/m]
Применяем правило дифференцирования произведения:
[r][m](uv)`=u`v+uv`[/m][/r]
[m]y`=(log_{3}(x+5))`\cdot arccos3x+log_{3}(x+5)\cdot (arccos 3x)`[/m]
Применяем правило дифференцирования сложной функции и формулы таблицы производных:
[r][m](log_{a}u)`=\frac{1}{u\cdot lna}\cdot u`[/m][/r]
[r][m](arccos u)`=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u`[/m][/r]
[m]y`=(\frac{1}{(x+5)\cdot ln3}\cdot (x+5)`)\cdot arccos3x+log_{3}(x+5)\cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-(3x)^2}})\cdot (3x)`[/m]
[m]y`=\frac{arccos3x}{(x+5)\cdot ln3}-\frac{3log_{3}(x+5)}{\sqrt{1-(3x)^2}}[/m] - о т в е т