Задача 62906 В треугольник ABC вписана окружность...

61bcd0862c9acd5f8803ecec

28.01.2022 18:07:58

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M,
причём AM = 2R и CM = 3R.

61f45329da08ee262dafd248

28.01.2022 23:38:46

★

а) Пусть вписанная окружность касается стороны BC в точке K. Обозначим BK = x. Пусть S — площадь треугольника, p — полупериметр. Тогда

p=2R плюс 3R плюс x=5R плюс x,S=pR=R(5R плюс x).

С другой стороны, по формуле Герона

S= корень из p(p минус AB)(p минус BC)(p минус AC)= корень из (5R плюс x) умножить на 2R умножить на 3R умножить на x=R корень из 6x(5R плюс x).

Из уравнения R(5R плюс x)=R корень из 6x(5R плюс x) получаем, что R = x. Стороны треугольника ABC равны 5R, 4R и 3R, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B.

б) Пусть I и O — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Точка O — середина гипотенузы AC = 5R = 10, и OM = AO − AM = 5 − 2R = 1.

Тогда

IO= корень из OM в степени 2 плюс MI в степени 2 = корень из 1 в степени 2 плюс R в степени 2 = корень из 5.



Ответ: б) корень из 5.