Задача 62851 решить уравнение тригонометрическое...
Условие
Решение
(sinx+cosx)=t
Возводим в квадрат
sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2
1+sin2x=t^2 ⇒ sin2x=t^2-1
Уравнение принимает вид:
1-(t^2-1)=-t
t^2-t-2=0
D=1-4*(-2)=9
корни (1 ± 3)/2
[b]sinx+cosx=-1 [/b] или [b]sinx+cosx=2[/b]
[b]sinx+cosx=2 [/b] sinx=1; cosx=1 что невозможно одновременно. Уравнение не имеет корней
[b]sinx+cosx=-1[/b] ⇒
2sin(x/2)*cos(x/2)+cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=-cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
2sin(x/2)*cos(x/2)+2cos^2(x/2)=0
2cos(x/2)*(sin(x/2)+cos(x/2))=0
cos(x/2)=0
[b](x/2)=(π/2)+πn, n ∈ Z[/b]
[b]x=π+2πn, n ∈ Z[/b]
sin(x/2)+cos(x/2)=0
tg(x/2)=-1
(x/2)=-(π/4)+πm, m ∈ Z
x=-(π/2)+2πm, m ∈ Z
О т в е т. [b]x=-(π/2)+2πm, m ∈ Z[/b];[b]x=π+2πn, n ∈ Z[/b]