Задача 62793 Найти корни уравнения: sqrt(x-1)-...
Условие
построить график.
Решение
{x-1 ≥ 0
{x-2 ≥ 0
{x^2-3x+2 ≥ 0
ОДЗ: [red]x ≥ 2[/red]
[m]\sqrt[4]{x^2-3x+2}=\sqrt[4]{(x-1)(x-2)}[/m] c учетом ОДЗ=[m]\sqrt[4]{x-1}\cdot \sqrt[4]{x-2}[/m]
Замена
[m]\sqrt[4]{x-1}=u[/m]
u ≥ 0
[m]\sqrt[4]{x-2}=v[/m]
v ≥ 0
Уравнение принимает вид:
[m]u^2-v^2=uv[/m] - однородное уравнение второго порядка
Делим на v^2
[m](\frac{u}{v})^2-\frac{u}{v}-1=0[/m]
D=1+4=5
[m]\frac{u}{v}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0[/m];
[m]\frac{u}{v}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m];
Обратный переход
[m]\frac{\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x-2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/m] - не имеет корней
[m]\frac{\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x-2}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m]
возводим в квадрат
[m]\frac{\sqrt[2]{x-1}}{\sqrt[2]{x-2}}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}[/m]
[m]\frac{\sqrt[2]{x-1}}{\sqrt[2]{x-2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/m]
возводим в квадрат
[m]\frac{x-1}{x-2}=\frac{9+6\sqrt{5}+5}{4}4[/m] ⇒ [m]\frac{x-1}{x-2}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}[/m]
[m]x-1=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}x-2\cdot \frac{7+3\sqrt{5}}{2} [/m]
[m](5+3\sqrt{5})x=12+6\sqrt{5}[/m]
[m]x=\frac{12+6\sqrt{5}}{5+3\sqrt{5}}[/m]
Избавляемся от иррациональности в знаменателе:
[m]x=\frac{(12+6\sqrt{5})\cdot (5-3\sqrt{5})}{(5+3\sqrt{5})(5+3\sqrt{5})}[/m]
[m]x=\frac{(12+6\sqrt{5})(5-3\sqrt{5})}{25-45}[/m]
[m]x=\frac{6\sqrt{5}+30}{20}[/m]
[m]x=\frac{3\sqrt{5}+15}{10}[/m]
входит в ОДЗ
О т в е т. [m]x=\frac{3\sqrt{5}+15}{10}[/m]
Другой способ.
Возведение в квадрат:
[m](\sqrt[2]{x-1}- \sqrt[2]{x-2})^2=(\sqrt[4]{(x-1)(x-2)})^2[/m]
[m]x-1-2\cdot \sqrt[2]{x-1}\cdot \sqrt[2]{x-2}=\sqrt[2]{(x-1)(x-2)}[/m]
[m]3\sqrt[2]{(x-1)(x-2)}=2x-3[/m]
Возводим в квадрат:
[m]\left\{\begin {matrix}2x-3 ≥ 0\\9(x-1)(x-2)=(2x-3)^2\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}2x-3 ≥ 0\\5x^2-15x+9=0\end {matrix}\right.[/m]
D=225-4*5*9=45
[m]\left\{\begin {matrix}2x-3 ≥ 0\\x_{1}=\frac{15-3\sqrt{5}}{10}; x_{2}=\frac{15+3\sqrt{5}}{10}\end {matrix}\right.[/m]
[m]x_{1}=\frac{15-3\sqrt{5}}{10}[/m]- посторонний корень, так как не удовлетворяет неравенству [m]2x-3 ≥ 0[/m]
[m]2\cdot \frac{15-3\sqrt{5}}{10} -3=\frac{30-6\sqrt{5}-30}{10}<0[/m]
О т в е т. [m]\frac{15+3\sqrt{5}}{10}[/m]